Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
A questão nos dá f(x)=tan(π/2−4x²)−6 e nos pergunta se f é inversível em (0,√(π/4)) e se g(y)=−√((π/2−arctan(y+6))/4) é a inversa.
Passo 2
Precisamos primeiro checar se f é injetora no intervalo dado. Para isso, derívamos f(x):
f’(x)=d/dx[ tan(π/2−4x²) ]⋅1 = sec²(π/2−4x²)⋅(−8x).
Como sec²(…)>0 para todo argumento e x>0 no nosso intervalo, temos f’(x)<0. Logo, f é estritamente decrescente e, portanto, injetora (invertível) em (0,√(π/4)).
f’(x)=d/dx[ tan(π/2−4x²) ]⋅1 = sec²(π/2−4x²)⋅(−8x).
Como sec²(…)>0 para todo argumento e x>0 no nosso intervalo, temos f’(x)<0. Logo, f é estritamente decrescente e, portanto, injetora (invertível) em (0,√(π/4)).
Passo 3
Agora achamos a inversa. Seja y=f(x). Então:
y+6=tan(π/2−4x²).
Aplicando arctan em ambos os lados:
arctan(y+6)=π/2−4x².
Isolando x²:
4x²=π/2−arctan(y+6)
x²=(π/2−arctan(y+6))/4.
Como x>0, tiramos raiz positiva:
x=√((π/2−arctan(y+6))/4).
Portanto a inversa f⁻¹(y) é
Passo 4
Comparando com as funções dadas, vemos que g(y) usa o sinal negativo da raiz e, portanto, não coincide com f⁻¹. A função que coincide é
T(y)=√((π/2−arctan(y+6))/4).
Resposta
A função f é invertível em (0,√(π/4)), mas sua inversa é dada por T(y), e não por g(y).