Seja S a porção do parabolóide circular z=x^2+y^22 que se encontra no primeiro octante de R^3 e que não se encontra no exterior do cilindro circular x^2+y^2=4 y. Calcule integral duplaS x yraiz1+2 z d s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla sobre uma superfície $ S $. Essa superfície é parte de um parabolóide circular dado por $ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{2} $, que está no primeiro octante de S (ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos) e que não está fora do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4y $. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de superfície em geometria multivariada. Vamos precisar parametrizar a superfície $ S $, entender os limites dessa região e usar coordenadas que facilitem a integração, provavelmente as coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ S $. Como estamos no primeiro octante, $ x \geq 0 $ e $ y \geq 0 $. O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4y $ pode ser reescrito completando o quadrado para $ y $:
S
Isso representa um cilindro circular com raio 2 e centrado em $ y = 2 $ no plano $ xy $.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície $ S $. Como o parabolóide é simétrico e o cilindro também, coordenadas polares vão simplificar as coisas. Em coordenadas polares:
S
x = r cos theta
y = r sin theta
Agora, precisamos determinar os limites para $ r $ e $ \theta $. Como estamos no primeiro octante, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 4

Determinar os limites de $ r $ envolve encontrar onde o parabolóide está dentro do cilindro. Substituindo $ x $ e $ y $ nas equações:
r
x
y
Então, $ r $ varia de $ 0 $ a $ 4 \sin \theta $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o elemento de área $ dS $ para o parabolóide. Para uma superfície dada por $ z = f(x, y) $, temos:
dS
No nosso caso, $ z = \frac{r^{2}}{2} $, então:
z = f(x, y)
dS = raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy
z = r^22
Em coordenadas polares:
partial zpartial x = x

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral dada:
integral duplaS x yraiz1 + 2 z , dS
Substituindo $ z = \frac{r^{2}}{2} $:
z = r^22
Em coordenadas polares:
x yraiz1 + r^2
x = r cos theta
Então:
y = r sin theta
Multiplicando pelo elemento de área:
r cos theta cdot r sin thetaraiz1 + r^2 = r^2 cos theta sin thetaraiz1 + r^2

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
integral0^pi2 integral0^4 sin theta r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em $ r $ primeiro:
r
Então, a integral se torna:
integral0^4 sin theta r^3 , dr = [ r^44 ]0^4 sin theta = (4 sin theta)^44 = 256 sin^4 theta4 = 64 sin^4 theta

Passo 8

Para resolver essa integral, usamos a substituição $ u = \sin \theta $, então $ du = \cos \theta , d\theta $. Os limites de $ u $ vão de $ 0 $ a $ 1 $.
A integral fica:
u = sin theta

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{32}{3} $.

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