Seja
a porção do parabolóide circular
que se encontra no primeiro octante de
e que não se encontra no exterior do cilindro circular
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla sobre uma superfície $ S $. Essa superfície é parte de um parabolóide circular dado por $ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{2} $, que está no primeiro octante de
(ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos) e que não está fora do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4y $. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais de superfície em geometria multivariada. Vamos precisar parametrizar a superfície $ S $, entender os limites dessa região e usar coordenadas que facilitem a integração, provavelmente as coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ S $. Como estamos no primeiro octante, $ x \geq 0 $ e $ y \geq 0 $. O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4y $ pode ser reescrito completando o quadrado para $ y $:
Isso representa um cilindro circular com raio 2 e centrado em $ y = 2 $ no plano $ xy $.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície $ S $. Como o parabolóide é simétrico e o cilindro também, coordenadas polares vão simplificar as coisas. Em coordenadas polares:
Agora, precisamos determinar os limites para $ r $ e $ \theta $. Como estamos no primeiro octante, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 4
Determinar os limites de $ r $ envolve encontrar onde o parabolóide está dentro do cilindro. Substituindo $ x $ e $ y $ nas equações:
Então, $ r $ varia de $ 0 $ a $ 4 \sin \theta $.
Passo 5
Agora, vamos calcular o elemento de área $ dS $ para o parabolóide. Para uma superfície dada por $ z = f(x, y) $, temos:
No nosso caso, $ z = \frac{r^{2}}{2} $, então:
Em coordenadas polares:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral dada:
Substituindo $ z = \frac{r^{2}}{2} $:
Em coordenadas polares:
Então:
Multiplicando pelo elemento de área:
Passo 7
Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver a integral em $ r $ primeiro:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Para resolver essa integral, usamos a substituição $ u = \sin \theta $, então $ du = \cos \theta , d\theta $. Os limites de $ u $ vão de $ 0 $ a $ 1 $.
A integral fica:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{32}{3} $.