Determine os valores de Pinfty e Einfty para cada um dos seguintes sinais:
x3(t)=cos (t)

Passo 1

O exercício pede para a gente achar a energia média e a potência média, ou seja, Einfty e Pinfty, do sinal
x3(t)=cos(t),
Aqui o conteúdo é sobre sinais de energia e sinais de potência:
- Energia total de um sinal x(t):
Einfty=integral-infty^infty|x(t)|^2,dt
  • Potência média de um sinal (especialmente útil para sinais periódicos): Pinfty=limTtoinfty12Tintegral-T^T|x(t)|^2,dtou, para sinais periódicos, Pinfty=1T0integral0^T0|x(t)|^2,dtó
    Nesse exercício a gente vai usar a definição de energia e reconhecer que cos(t) é periódico (período T0=2pi).

Passo 2

Primeiro, vê se x3(t)=cos(t) é sinal de energia finita ou não. A gente calcula
Einfty=integral-infty^inftyl|cos(t)r|^2,dt=integral-infty^inftycos^2(t),dt
Como cos^2(t) oscila sem decair e a integral em todo o eixo real não converge (fica infinita), concluímos que:
Einfty=infty
Em outras palavras, cos(t) não é um sinal de energia finita, mas sim um sinal de potência.

Passo 3

Agora, para obter a potência média, usamos que cos(t) é periódico de período T0=2pi. Então:
Pinfty=1T0integral0^T0cos^2(t),dt ;=;12piintegral0^2picos^2(t),dt
A gente lembra da identidade trigonométrica:
cos^2(t)=1+cos(2t)2
Substituindo:
$$P_{\infty}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2t)}{2},dt
=\frac{1}{4\pi}\Bigl[\int_{0}{2\pi}1,dt+\int_{0}{2\pi}\cos(2t),dt\Bigr]. Pinfty=12piintegral0^2pi1+cos(2t)2,dt =14pil[integral0^2pi1,dt+integral0^2picos(2t),dtr]íáãP_{\infty}=\frac{1}{4\pi}\bigl[2\pi + 0\bigr]=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}.$$

Resposta

Pelos cálculos acima, para x3(t)=cos(t):
$

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