Determine os valores de Pinfty e Einfty para cada um dos seguintes sinais:
x2[n]=e^j(pi / 2 n+pi / 8)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar duas coisas de um sinal discreto: a energia total x2[n] = e^jl(tfracpi2n + tfracpi8r) e a potência média . O sinal é
Isso faz parte da parte de Processamento de Sinais, mais especificamente dos conceitos “energia vs. potência” em sinais discretos. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Saber a definição de energia de um sinal discreto: .
  • Saber a definição de potência média : .
  • Calcular o módulo do nosso sinal.

Passo 2

Vamos lembrar das definições certinho:
  1. Energia total
Einfty ;=;sumn=-infty^inftyl|x2[n]r|^2
  1. Potência média
Pinfty ;=;limNtoinfty12N+1sumn=-N^Nl|x2[n]r|^2
Essas fórmulas vêm direto da teoria de sinais, pra gente diferenciar sinais de energia finita (onde é finito) de sinais de potência (onde é finito).

Passo 3

Agora, o truque principal: achar o módulo do nosso sinal complexo
x2[n] = e^jtheta[n],theta[n]=tfracpi2n + tfracpi8
Teorema básico de números complexos:
l|e^jthetar| = 1
para qualquer l|x2[n]r| = 1 . Então, para todo ,

Passo 4

Com Einfty = sumn=-infty^infty 1 = 1 + 1 + 1 + cdots , vamos calcular a energia:
Einfty = infty
Isso não para de crescer, ou seja, diverge para o infinito. Logo

Passo 5

Agora a potência média:
Pinfty = limNtoinfty12N+1sumn=-N^N1
O somatório de 1, de Pinfty = limNtoinfty2N+12N+1 = 1 até , dá exatamente . Então

Resposta


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