Para cada um dos resíduos a que não tem inverso módulo 6, determine um outro resíduo b not equiv 0(bmod 6) tal que a cdot b equiv 0(bmod 6). Faça o mesmo para os resíduos que não tem inverso módulo 15.

Passo 1

O enunciado pede, para cada resíduo a que não tem inverso módulo n, encontrar um resíduo bnotequiv0pmodn tal que
acdot bequiv0pmodn
Lembramos que a é invertível módulo n se e somente se gcd(a,n)=1. Logo, os resíduos sem inverso são aqueles com gcd(a,n)>1.

Passo 2

Se gcd(a,n)=d>1, então basta escolher
b=nd,
pois d>1 implica 1<= b< n (logo bnotequiv0pmodn) e
acdot b = acdotnd =ad,n equiv0pmodn

Passo 3

Aplicamos o método para n=6. Os resíduos em 0,1,2,3,4,5 com gcd(a,6)>1 são
ain0,2,3,4
Para cada um definimos d=gcd(a,6) e b=6/d.

Passo 4

Cálculo dos pares (a,b) módulo 6:
a=0: gcd(0,6)=6 implies b=6/6=1, e 0cdot1=0.
a=2: gcd(2,6)=2 implies b=6/2=3, e 2cdot3=6equiv0.
a=3: gcd(3,6)=3 implies b=6/3=2, e 3cdot2=6equiv0.
a=4: gcd(4,6)=2 implies b=6/2=3, e 4cdot3=12equiv0.

Passo 5

Agora para n=15. Os resíduos em 0,1,dots,14 sem inverso são
ain0,3,5,6,9,10,12,
pois gcd(a,15)>1. De novo, para cada definimos d=gcd(a,15) e b=15/d.

Passo 6

Cálculo dos pares (a,b) módulo 15:
a=0: gcd(0,15)=15 implies b=15/15=1, e 0cdot1=0.
a=3: gcd(3,15)=3 implies b=15/3=5, e 3cdot5=15equiv0.
a=5: gcd(5,15)=5 implies b=15/5=3, e 5cdot3=15equiv0.
a=6: gcd(6,15)=3 implies b=15/3=5, e 6cdot5=30equiv0.
a=9: gcd(9,15)=3 implies b=15/3=5, e 9cdot5=45equiv0.
a=10: gcd(10,15)=5 implies b=15/5=3, e 10cdot3=30equiv0.
a=12: gcd(12,15)=3 implies b=15/3=5, e 12cdot5=60equiv0.

Resposta

Para módulo 6:
a=0mapsto b=1,;a=2mapsto b=3,;a=3mapsto b=2,;a=4mapsto b=3
Para módulo 15:
a=0mapsto b=1,;a=3mapsto b=5,;a=5mapsto b=3,;a=6mapsto b=5,;a=9mapsto b=5,;a=10mapsto b=3,;a=12mapsto b=5

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