Determine a equação(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço W do espaço vetorial V dado:
V=R^4, W gerado pelos vetores [c-1 1 0 0],[l2 1 3 0],[c0 0 2 -1]

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1 = -1100, v2 = 2130, v3 = 002-1
na forma de equação(ões) lineares. Em teoria, como W tem dimensão menor que 4, podemos encontrar vetores normais a todos os geradores e escrever W como o conjunto de soluções de um sistema homogêneo.

Passo 2

Vou checar que
então, coordenada a coordenada,
Dessa primeira dupla vem . Das duas últimas, e dão . Logo só há a solução trivial, provando . Então o complemento ortogonal tem dimensão e basta uma única equação.

Passo 3

Procuramos
Isto é,
Da primeira equação . Da terceira, . Podemos escolher .

Passo 4

O vetor normal é (1,1,-1,-2). Portanto todo (x1,x2,x3,x4)in W satisfaz
1cdot x1 + 1cdot x2 + (-1)cdot x3 + (-2)cdot x4 = 0

Resposta

A equação que descreve W é
x1 + x2 - x3 - 2x4 = 0

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