Determine a equação(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço do espaço vetorial dado: gerado pelos vetores
Passo 1
O enunciado pede para descrever o subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1 = -1100, v2 = 2130, v3 = 002-1
na forma de equação(ões) lineares. Em teoria, como W tem dimensão menor que 4, podemos encontrar vetores normais a todos os geradores e escrever W como o conjunto de soluções de um sistema homogêneo.
Passo 2
Vou checar que
então, coordenada a coordenada,
Dessa primeira dupla vem . Das duas últimas, e dão . Logo só há a solução trivial, provando . Então o complemento ortogonal tem dimensão e basta uma única equação.
Passo 3
Procuramos
Isto é,
Da primeira equação . Da terceira, . Podemos escolher .
Passo 4
O vetor normal é (1,1,-1,-2). Portanto todo (x1,x2,x3,x4)in W satisfaz