Verifique o Teorema de Fermat com a=2 e p=13.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Pequeno Teorema de Fermat com a=2 e p=13. Esse teorema afirma que, se p é primo e gcd(a,p)=1, então
a^p-1 equiv 1 pmodp
Para conferir, precisamos checar que 13 é primo, que gcd(2,13)=1 e calcular 2^12bmod13.

Passo 2

Verificamos que 13 é primo (não tem divisores além de 1 e ele mesmo) e gcd(2,13)=1 (pois 13 não divide 2). Logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Passo 3

Usamos exponenciação modular para calcular 2^12bmod13 sem obter números gigantescos. Primeiro:
2^2 = 4 pmod13

Passo 4

Em seguida:
2^4 = (2^2)^2 = 4^2 = 16 equiv 3 pmod13

Passo 5

Agora:
2^8 = (2^4)^2 = 3^2 = 9 pmod13

Passo 6

Finalmente,
2^12 = 2^8 cdot 2^4 equiv 9 cdot 3 = 27 equiv 1 pmod13

Resposta

De fato 2^12equiv1pmod13, confirmando o Pequeno Teorema de Fermat para a=2 e p=13.

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