Determine a equação(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço W do espaço vetorial V dado:
V=R^3, W gerado pelo vetor [c2 -5 3]

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço WsubsetR^3 gerado por
v = 2-53
Queremos encontrar o(s) sistema(s) de equações lineares cujo conjunto solução seja exatamente W. Para isso, vamos encarar W como a interseção de dois planos que passam pela origem.

Passo 2

Um plano que passa pela origem em R^3 pode ser escrito como
ncdot(x,y,z) = 0,
onde n=(a,b,c) é o vetor normal ao plano. Se esse plano contém a reta W=t,v:tinR, então seu normal deve satisfazer
ncdot v = 0 Longrightarrow ( a,b,c )cdot(2,-5,3)=0

Passo 3

Escrevendo a condição
2a -5b +3c = 0
temos dois graus de liberdade em (a,b,c). Para escolher dois normais independentes com coeficientes inteiros, tomamos:
  • para a=3, b=0 vem c=-2, ou seja n1=(3,0,-2);
  • para a=0, b=3 vem c=5, ou seja n2=(0,3,5).

Passo 4

Os dois planos que contêm W são
n1cdot(x,y,z)=0 Longrightarrow 3x - 2z = 0,
n2cdot(x,y,z)=0 Longrightarrow 3y + 5z = 0
A interseção desses dois planos é exatamente a reta gerada por v.

Resposta

3x - 2z = 0, 3y + 5z = 0

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