Cada rolo de tecido de 500 m contém, em média, duas imperfeições. Qual a probabilidade de que um segmento específico de:
100 m de tecido não contenha nenhuma imperfeição?
100 m de tecido não contenha nenhuma imperfeição?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um rolo de tecido de
contém, em média, imperfeições. - Pergunta: qual a probabilidade de que um segmento específico de
não contenha nenhuma imperfeição?
Passo 2
Escolha do modelo probabilístico (explicação didática):
- Quando eventos raros (imperfeições) ocorrem ao longo de um comprimento contínuo, de forma independente e com taxa média constante por unidade de comprimento, o modelo adequado é a distribuição de Poisson.
- A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências
em um intervalo fixo quando essas condições valem. Aqui: o intervalo é um segmento de tecido de comprimento dado, as imperfeições são as ocorrências raras e assumimos taxa constante ao longo do tecido.
Passo 3
Determinar a taxa média (parâmetro
) para o segmento de
:
- A média escala linearmente com o comprimento. Se em
a média é , então em a média é
- Calcule:
- Interpretação: espera-se, em média,
imperfeições por segmento de .
Passo 4
Fórmula da distribuição de Poisson (aula curta):
- Se
tem distribuição de Poisson com parâmetro , então a probabilidade de ocorrer exatamente ocorrências é
- Aqui:
é a média (esperança) do número de ocorrências no intervalo considerado, é o número de ocorrências que se quer a probabilidade, é a base dos logaritmos naturais, e é o fatorial de .
Passo 5
Aplicar a fórmula para
(nenhuma imperfeição):
- Para
vale , portanto
- Substituindo
:
Passo 6
Valor numérico e interpretação:
- Avaliando numericamente,
- Interpretação prática: a probabilidade de um segmento de
não ter nenhuma imperfeição é cerca de . Isso significa que, em média, aproximadamente 67 de cada 100 segmentos de estarão livres de imperfeições.