Cada rolo de tecido de 500 m contém, em média, duas imperfeições. Qual a probabilidade de que um segmento específico de:
100 m de tecido não contenha nenhuma imperfeição?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um rolo de tecido de 500\\ \mathrm{m} contém, em média, 2 imperfeições.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que um segmento específico de 100\\ \mathrm{m} não contenha nenhuma imperfeição?

Passo 2

Escolha do modelo probabilístico (explicação didática):
  • Quando eventos raros (imperfeições) ocorrem ao longo de um comprimento contínuo, de forma independente e com taxa média constante por unidade de comprimento, o modelo adequado é a distribuição de Poisson.
  • A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências X em um intervalo fixo quando essas condições valem. Aqui: o intervalo é um segmento de tecido de comprimento dado, as imperfeições são as ocorrências raras e assumimos taxa constante ao longo do tecido.

Passo 3

Determinar a taxa média (parâmetro \lambda) para o segmento de 100\\ \mathrm{m}:
  • A média escala linearmente com o comprimento. Se em 500\\ \mathrm{m} a média é 2, então em 100\\ \mathrm{m} a média é
\lambda = 2\cdot\frac{100}{500}.
  • Calcule:
\lambda = 2\cdot\frac{100}{500} = 2\cdot\frac{1}{5} = 0,4.
  • Interpretação: espera-se, em média, 0,4 imperfeições por segmento de 100\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Fórmula da distribuição de Poisson (aula curta):
  • Se X tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda, então a probabilidade de ocorrer exatamente k ocorrências é
P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.
  • Aqui: \lambda é a média (esperança) do número de ocorrências no intervalo considerado, k é o número de ocorrências que se quer a probabilidade, e é a base dos logaritmos naturais, e k! é o fatorial de k.

Passo 5

Aplicar a fórmula para k=0 (nenhuma imperfeição):
  • Para k=0 vale \lambda^{0}/0!=1, portanto
P(X=0)=e^{-\lambda}.
  • Substituindo \lambda=0,4:
P(X=0)=e^{-0,4}.

Passo 6

Valor numérico e interpretação:
  • Avaliando numericamente,
e^{-0,4}\approx 0,6703.
  • Interpretação prática: a probabilidade de um segmento de 100\\ \mathrm{m} não ter nenhuma imperfeição é cerca de 67{,}03\%. Isso significa que, em média, aproximadamente 67 de cada 100 segmentos de 100\\ \mathrm{m} estarão livres de imperfeições.

Resposta

P = e^{-0,4} \approx 0,6703

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