Cada rolo de tecido de 500 m contém, em média, duas imperfeições. Qual a probabilidade de que um segmento específico de:
200 m de tecido contenha no máximo duas imperfeições?
200 m de tecido contenha no máximo duas imperfeições?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e faz uma pergunta clara:
- Informação: Cada rolo de tecido de
contém, em média, imperfeições. - Pergunta: Qual a probabilidade de que um segmento específico de
de tecido contenha, no máximo, imperfeições?
Passo 2
Escolha do modelo (explicação didática): para problemas de contagem de eventos (aqui, imperfeições) que ocorrem ao longo de uma extensão contínua (comprimento de tecido), quando:
- a média de ocorrências em um intervalo é proporcional ao tamanho do intervalo,
- as ocorrências em intervalos disjuntos são independentes,
é comum modelar o número de ocorrências por uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é apropriada quando os eventos são raros e espalham-se de forma independente ao longo da “linha” (aqui, o tecido).
A fórmula da distribuição de Poisson é a seguinte. Se
é o número de imperfeições em um segmento, e
é a média (valor esperado) de imperfeições nesse segmento, então
Explicando a fórmula de forma simples:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente imperfeições. -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é a média esperada de imperfeições no segmento considerado. -
é o fatorial de ( etc.).
Passo 3
Calcular a média esperada
para
:
A média dada é
imperfeições por
. Logo a taxa por metro é
Para
a média esperada é
Portanto usaremos a distribuição de Poisson com parâmetro
.
Passo 4
Queremos a probabilidade de "no máximo
" imperfeições, isto é
. Pela Poisson:
Substituindo
:
Agora calculamos cada termo (aproximações numéricas, mostrando os passos):
Termos individuais:
Passo 5
Somando os três termos para obter
:
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.
Força aí — essa probabilidade é bem alta: em média, segmentos de
terão raramente mais que duas imperfeições nas condições dadas.