Cada rolo de tecido de 500 m contém, em média, duas imperfeições. Qual a probabilidade de que um segmento específico de:
200 m de tecido contenha no máximo duas imperfeições?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz uma pergunta clara:
  • Informação: Cada rolo de tecido de 500\\ \text{m} contém, em média, 2 imperfeições.
  • Pergunta: Qual a probabilidade de que um segmento específico de 200\\ \text{m} de tecido contenha, no máximo, 2 imperfeições?

Passo 2

Escolha do modelo (explicação didática): para problemas de contagem de eventos (aqui, imperfeições) que ocorrem ao longo de uma extensão contínua (comprimento de tecido), quando:
  • a média de ocorrências em um intervalo é proporcional ao tamanho do intervalo,
  • as ocorrências em intervalos disjuntos são independentes,
    é comum modelar o número de ocorrências por uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é apropriada quando os eventos são raros e espalham-se de forma independente ao longo da “linha” (aqui, o tecido).
A fórmula da distribuição de Poisson é a seguinte. Se X é o número de imperfeições em um segmento, e \mu é a média (valor esperado) de imperfeições nesse segmento, então
P(X=k)=\frac{e^{-\mu}\,\mu^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Explicando a fórmula de forma simples:
  • P(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k imperfeições.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
  • \mu é a média esperada de imperfeições no segmento considerado.
  • k! é o fatorial de k ( 0!=1,\;1!=1,\;2!=2, etc.).

Passo 3

Calcular a média esperada \mu para 200\\ \text{m}:
A média dada é 2 imperfeições por 500\\ \text{m}. Logo a taxa por metro é
\lambda=\frac{2}{500}=0,004\quad(\text{imperfeições por metro}).çõ
Para 200\\ \text{m} a média esperada é
\mu=\lambda\cdot 200 = 0,004\cdot 200 = 0,8.
Portanto usaremos a distribuição de Poisson com parâmetro \mu=0,8.

Passo 4

Queremos a probabilidade de "no máximo 2" imperfeições, isto é P(X\le 2). Pela Poisson:
P(X\le 2)=\sum_{k=0}^{2} \frac{e^{-\mu}\,\mu^{k}}{k!}.
Substituindo \mu=0,8:
P(X\le 2)=\frac{e^{-0,8}\,(0,8)^{0}}{0!}+\frac{e^{-0,8}\,(0,8)^{1}}{1!}+\frac{e^{-0,8}\,(0,8)^{2}}{2!}.
Agora calculamos cada termo (aproximações numéricas, mostrando os passos):
e^{-0,8}\approx 0,449328964.
Termos individuais:
\begin{aligned} P(X=0)&=e^{-0,8}\cdot\frac{(0,8)^{0}}{0!}=e^{-0,8}\cdot 1 = 0,449328964,\\[4pt] P(X=1)&=e^{-0,8}\cdot\frac{(0,8)^{1}}{1!}=e^{-0,8}\cdot 0,8 \approx 0,359463171,\\[4pt] P(X=2)&=e^{-0,8}\cdot\frac{(0,8)^{2}}{2!}=e^{-0,8}\cdot\frac{0,64}{2}=e^{-0,8}\cdot 0,32 \approx 0,143785269. \end{aligned}]

Passo 5

Somando os três termos para obter P(X\le 2):
P(X\le 2)\approx 0,449328964+0,359463171+0,143785269=0,952577404.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 95,26\%.
Força aí — essa probabilidade é bem alta: em média, segmentos de 200\\ \text{m} terão raramente mais que duas imperfeições nas condições dadas.

Resposta

0,952577404\\ \approx\\\ 95,26\%

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