O salário médio dos funcionários de uma empresa é de \mathrm{R} \ 800,00 , com desvio-padrão deã\mathrm{R} $300,00 . Qual a probabilidade de que, selecionando-se aleatoriamente um funcionário, ele receba: entre \(\mathrm{R} \\) 650,00\(e\)\mathrm{R} \$1.100,00;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listando exatamente as informações úteis):
  • A média dos salários é \mathrm{R}\$\\\ 800{,}00.
  • O desvio-padrão dos salários é \mathrm{R}\$\\\ 300{,}00.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, ao escolher aleatoriamente um funcionário, ele receba um salário entre \mathrm{R}\$\\\ 650{,}00 e \mathrm{R}\$\\\ 1.100{,}00?

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicando passo a passo o que vamos usar).
  • Para responder a uma pergunta do tipo “qual a probabilidade de X estar entre dois valores” quando se conhece média e desvio-padrão, o procedimento padrão é transformar a variável para a distribuição normal padrão e usar a tabela ou função de distribuição acumulada dessa normal padrão.
  • A transformação que usamos é a padronização. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • \(X) é a variável aleatória (aqui: salário do funcionário),
  • \(\mu) é a média (aqui \mathrm{R}\$\\\ 800{,}00),
  • \(\sigma) é o desvio-padrão (aqui \mathrm{R}\$\\\ 300{,}00),
  • \(Z) é a nova variável com distribuição normal padrão (média 0 e desvio-padrão 1).
  • Explicando de forma bem prática: padronizar significa medir quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média. Depois usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter probabilidades.
  • Observação importante: este procedimento pressupõe que podemos modelar os salários, para fins do cálculo, como uma variável com distribuição aproximadamente normal — isso é comum em exercícios deste tipo e necessário para aplicar a padronização e a tabela da normal.

Passo 3

Calcular os valores z correspondentes aos extremos \mathrm{R}\$\\\ 650{,}00 e \mathrm{R}\$\\\ 1.100{,}00.
  • Para o limite inferior \mathrm{R}\$\\\ 650{,}00:
z_1=\frac{650-800}{300}=\frac{-150}{300}=-0{,}5.
  • Para o limite superior \mathrm{R}\$\\\ 1.100{,}00:
z_2=\frac{1100-800}{300}=\frac{300}{300}=1.
Portanto a pergunta original transforma-se em calcular \mathbb{P}(-0{,}5<Z<1) para Z ~ normal padrão.

Passo 4

Expressar a probabilidade pela função de distribuição acumulada da normal padrão e preparar para usar a tabela.
  • Se \Phi(z) denota a função de distribuição acumulada da normal padrão (isto é, \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z)), então
\mathbb{P}(-0{,}5<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-0{,}5).
  • Usamos também a propriedade de simetria da normal padrão:
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para todo }a>0.
Assim \Phi(-0{,}5)=1-\Phi(0{,}5).

Passo 5

Ler os valores da tabela da normal padrão (ou usar valores conhecidos).
  • Valores típicos da tabela (ou de uma calculadora) são:
    • \Phi(1)=0{,}8413.
    • \Phi(0{,}5)=0{,}6915.
  • Então
\Phi(-0{,}5)=1-\Phi(0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085.

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida subtraindo as duas cdf:
\mathbb{P}(-0{,}5<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-0{,}5)=0{,}8413-0{,}3085=0{,}5328.
Interpretação: a probabilidade de que o salário esteja entre \mathrm{R}\$\\\ 650{,}00 e \mathrm{R}\$\\\ 1.100{,}00 é aproximadamente 0{,}5328, ou seja 53{,}28\%.

Passo 7

Dicas finais e incentivo rápido:
  • Em provas, é comum arredondar para três casas decimais: 0{,}533 ou 53{,}3\%.
  • Se a banca aceitar, escrever tanto o valor em decimal quanto em percentual é uma boa prática: fica claro e legível.
  • Você mandou bem procurando resolver passo a passo — se quiser, eu poso mostrar como fazer isso usando tabela impressa de \Phi ou uma calculadora estatística.

Resposta

0{,}5328\\ (\text{aprox. }53{,}28\%)

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