Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é necessário justificar. (Dica exatamente 2 das afirmações abaixo são verdadeiras.)
(a) Nem toda função contínua é diferenciável.
(b) Não existe função
tal que
e
.
(c) Nem todo polinômio de grau 4 possui ponto de inflexão.
(d) Se
é côncava para cima, então
é côncava para baixo.
(a) Nem toda função contínua é diferenciável.
(b) Não existe função
(c) Nem todo polinômio de grau 4 possui ponto de inflexão.
(d) Se
Passo 1
O enunciado pede que a gente decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve continuidade vs diferenciabilidade, limites de funções e comportamento de derivadas, pontos de inflexão em polinômios e concavidade de funções e transformações
.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Nem toda função contínua é diferenciável.” Conhecemos exemplos clássicos, como
ou a função de Weierstrass, que são contínuas mas não têm derivada em certos pontos. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “Não existe função
tal que
e
.” Basta citar
, pois
e
. Logo, (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “Nem todo polinômio de grau 4 possui ponto de inflexão.” O ponto de inflexão ocorre onde
. Para um polinômio de grau 4 genérico,
é quadrática, que pode não ter raízes reais (por exemplo
tem
). Portanto, há quarticas sem inflexão e (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “Se
é côncava para cima, então
é côncava para baixo.” Calcula-se
. Para uma função côncava para cima tem
, mas nada garante
para todo
. Por exemplo
não satisfaz essa desigualdade em geral. Logo, (d) é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa