Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é necessário justificar. (Dica exatamente 2 das afirmações abaixo são verdadeiras.)
(a) Nem toda função contínua é diferenciável.
(b) Não existe função f tal que lim x infty f(x)=infty e lim x infty f^prime(x)=0.
(c) Nem todo polinômio de grau 4 possui ponto de inflexão.
(d) Se f:(0,1) (0, infty) é côncava para cima, então 1f(x) é côncava para baixo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve continuidade vs diferenciabilidade, limites de funções e comportamento de derivadas, pontos de inflexão em polinômios e concavidade de funções e transformações 1/f.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Nem toda função contínua é diferenciável.” Conhecemos exemplos clássicos, como f(x)=|x| ou a função de Weierstrass, que são contínuas mas não têm derivada em certos pontos. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Não existe função f tal que limxtoinftyf(x)=infty e limxtoinftyf'(x)=0.” Basta citar f(x)=raizx, pois limxtoinftyraizx=infty e limxtoinftyf'(x)=limxtoinfty12raizx=0. Logo, (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Nem todo polinômio de grau 4 possui ponto de inflexão.” O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0. Para um polinômio de grau 4 genérico, f'' é quadrática, que pode não ter raízes reais (por exemplo f(x)=x^4+x^2+1 tem f''(x)=12x^2+2>0). Portanto, há quarticas sem inflexão e (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “Se f:(0,1)to(0,infty) é côncava para cima, então 1/f(x) é côncava para baixo.” Calcula-se (1/f)''=2(f')^2-f,f''f^3. Para uma função côncava para cima tem f''>=0, mas nada garante 2(f')^2<= f,f'' para todo x. Por exemplo f(x)=x^2+1 não satisfaz essa desigualdade em geral. Logo, (d) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa

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