Calcule os limites e simplifique sua resposta:
lim x 0 raiz1+x-1-x2+x^28x^2.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos
limxto 0raiz1+x-1-x2+x^28x^2
O conteúdo principal aqui é usar o desenvolvimento em série (Taylor ou binomial) de raiz1+x em torno de x=0. Como o numerador já “subtrai” os termos até ordem x^2, vamos precisar da expansão até o termo de ordem x^3 para ver o comportamento dominante restante.

Passo 2

A expansão em série de Taylor de raiz1+x em torno de 0 até a ordem 3 é
raiz1+x =1+x2-x^28+x^316+O(x^4)

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador, temos
raiz1+x-1-x2+x^28 =l(1+x2-x^28+x^316+O(x^4)r) -1-x2+x^28 =x^316+O(x^4)

Passo 4

Logo, o quociente fica
raiz1+x-1-x2+x^28x^2 =x^316+O(x^4)x^2 =x16+O(x^2),
e ao fazermos xto0 esse valor tende a zero.

Resposta

0

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