Questão 4(4,0 pontos)a)(1,0 ponto) Estude quanto ao máximo ou mínimo a função
x^2+2 y^2-12 x-4 y+z^2-3 z+34=0
b) (Vr.1,0) Mostre que a função z=x varphi(yx)+psi(yx) satisfaz a equação x^2 partial^2 zpartial x^2+2 x y partial^2 zpartial x partial y+y^2 partial^2 zpartial y^2=0
c)(Vr. 1,5 ponto) Seja a função f: R^2 longrightarrow R, f(x, y)=rllx^3x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
i) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
ii) Mostre que d fd t f(gamma(t)) neq nabla f(gamma(t))) cdot gamma^prime(t) em t=0, onde gamma(t)=(-t,-t).
iii) Seja u=(m, n) um vetor unitáário calcule partial fpartial u(0,0).
iv) f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
d) (0,5 ponto) Calcular d yd x e d^2 yd x^2, se
1+x y-ln (e^x y+e^-x y)=0
Justifique todas as suas respostas! Apresente seus cálculos
Entregar a 4^ a Questão no dia 25 / 05 / 2025

Passo 1

O enunciado tem quatro itens:
(a) Estudar extremos da função
F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-12x-4y-3z+34
(b) Mostrar que
z(x,y)=x,varphi!l(tfrac yxr)+psi!l(tfrac yxr)
satisfaz
x^2zxx+2xy,zxy+y^2zyy=0
(c) Para
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
i) calcular nabla f(0,0),
ii) mostrar que tfracddtf(gamma(t))|0neqnabla fcdotgamma'(0) para gamma(t)=(-t,-t),
iii) para vec u=(m,n) unitário achar partial f/partialvec u(0,0),
iv) concluir se f é diferenciável em (0,0).
(d) Para
1+xy-ln!l(e^xy+e^-xyr)=0
achar dydx e d^2ydx^2.]

Passo 2

Para (a) defina
F(x,y,z)=x^2-12x+2y^2-4y+z^2-3z+34
Complete quadrados:
x^2-12x=(x-6)^2-36, 2y^2-4y=2l(y-1r)^2-2, z^2-3z=l(z-tfrac32r)^2-tfrac94

Passo 3

Somando tudo:
F=(x-6)^2+2(y-1)^2+l(z-tfrac32r)^2 -36-2-tfrac94+34 =(x-6)^2+2(y-1)^2+l(z-tfrac32r)^2-tfrac254
Como os quadrados são >=0, F atinge mínimo global -tfrac254 em (6,1,tfrac32) e não tem máximo.

Passo 4

Para (b) acrescente t=y/x. Então
z(x,y)=xvarphi(t)+psi(t), tx=- t x, ty=1x
Pela cadeia:
zx=varphi(t)-t,varphi'(t)- t x,psi'(t), zy=varphi'(t)+1x,psi'(t)

Passo 5

Derivando novamente, obtém-se (após reorganizar termos)
zxx=t^2xvarphi''(t) +2tx^2psi'(t) +t^2x^2psi''(t),
zxy=-txvarphi''(t) -1x^2psi'(t) -tx^2psi''(t),
zyy=1xvarphi''(t) +1x^2psi''(t)

Passo 6

Substituindo em
;x^2zxx+2xy,zxy+y^2zyy
e usando y=xt, todos os termos se cancelam. Logo a equação é satisfeita.

Passo 7

Para (c.i), pelas definições:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-0h =limhto0hh=1, partial fpartial y(0,0) =limhto00-0h=0
Logo nabla f(0,0)=(1,0).

Passo 8

Para (c.ii), com gamma(t)=(-t,-t):
f(gamma(t))=(-t)^32t^2 =- t2 ;Longrightarrow; ddtf(gamma(t))|0=-12,
enquanto
nabla f(0,0)cdotgamma'(0)=(1,0)cdot(-1,-1)=-1.
Como -tfrac12neq-1, a desigualdade está demonstrada.

Passo 9

Para (c.iii), dado vec u=(m,n) com m^2+n^2=1:
partial fpartialvec u(0,0) =limhto0f(hm,hn)-0h =limhto0h^3m^3/(h^2)h =m^3

Passo 10

Em (c.iv), se f fosse diferenciável em (0,0), teríamos
partial f/partialvec u(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec u=m
para toda direção, mas vimos que é m^3neq m em geral. Logo f não é diferenciável em (0,0).

Passo 11

Para (d) defina u=xy. Da equação
1+u-lnl(e^u+e^-ur)=0
diferencie em x:
y+x,y'-e^u-e^-ue^u+e^-u,(y+x,y')=0 ;Longrightarrow; (y+x,y')l(1-tanh ur)=0
Assumindo tanh uneq1 segue y+x,y'=0, ou seja
y'=- yx, y''=-y'x+ yx^2 =2yx^2

Resposta

(a) Único mínimo global de F igual a -tfrac254 em (6,1,tfrac32); sem máximo.
(b) A função satisfa z x^2zxx+2xy,zxy+y^2zyy=0.
(c.i) nabla f(0,0)=(1,0).
(c.ii) tfracddtf(gamma(t))|0=-tfrac12neq-1=nabla fcdotgamma'(0).
(c.iii) partial f/partialvec u(0,0)=m^3.
(c.iv) f não é diferenciável em (0,0).
(d)
y'=- yx, y''=2yx^2

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