Questão 4(4,0 pontos)a)(1,0 ponto) Estude quanto ao máximo ou mínimo a função
b) (Vr.1,0) Mostre que a função satisfaz a equação
c)(Vr. 1,5 ponto) Seja a função
i) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
ii) Mostre que d fd t f(gamma(t)) neq nabla f(gamma(t))) cdot gamma^prime(t) em t=0, onde gamma(t)=(-t,-t).
iii) Seja u=(m, n) um vetor unitáário calcule partial fpartial u(0,0).
iv) f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
d) (0,5 ponto) Calcular d yd x e d^2 yd x^2, se
1+x y-ln (e^x y+e^-x y)=0
Justifique todas as suas respostas! Apresente seus cálculos
Entregar a 4^ a Questão no dia 25 / 05 / 2025
Passo 1
O enunciado tem quatro itens: (a) Estudar extremos da função
i) calcular nabla f(0,0),
ii) mostrar que tfracddtf(gamma(t))|0neqnabla fcdotgamma'(0) para gamma(t)=(-t,-t),
iii) para vec u=(m,n) unitário achar partial f/partialvec u(0,0),
iv) concluir se f é diferenciável em (0,0). (d) Para
Em (c.iv), se f fosse diferenciável em (0,0), teríamos partial f/partialvec u(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec u=m
para toda direção, mas vimos que é m^3neq m em geral. Logo f não é diferenciável em (0,0).
(a) Único mínimo global de F igual a -tfrac254 em (6,1,tfrac32); sem máximo.
(b) A função satisfa z x^2zxx+2xy,zxy+y^2zyy=0.
(c.i) nabla f(0,0)=(1,0).
(c.ii) tfracddtf(gamma(t))|0=-tfrac12neq-1=nabla fcdotgamma'(0).
(c.iii) partial f/partialvec u(0,0)=m^3.
(c.iv) f não é diferenciável em (0,0).
(d)