Calcule cada um dos limites
lim x 1(xx-1-1ln x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1l(xx-1-1ln xr)
Vemos que, isoladamente, xx-1topminfty e 1ln xtopminfty, dando uma forma indeterminada infty-infty. Para aplicar o Teorema de L’Hôpital, vamos primeiro reescrever a diferença como uma única fração, obtendo uma forma 0/0.

Passo 2

Transformamos a expressão num único quociente:
xx-1-1ln x =xln x - (x-1)(x-1),ln x

Passo 3

Verificamos o tipo de indeterminação avaliando numerador e denominador em x=1:
xln x - (x-1)|x=1=1cdot0 - 0 =0, (x-1)ln x|x=1=0cdot0=0
Temos, portanto, a forma 0/0, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
Numerador N(x)=xln x - x+1 Rightarrow
N'(x)=ln x +1 -1 = ln x
Denominador D(x)=(x-1)ln x Rightarrow
D'(x)=ln x + (x-1)cdot1x
Após essa primeira aplicação, ao avaliar em x=1 ainda resta 0/0, pois ln1=0 e (1-1)/1=0.

Passo 5

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivamos novamente:
N''(x)=ddx[ln x]=1x, D''(x)=ddxl[ln x + x-1xr] =1x + ddxl(1-1xr) =1x + 1x^2

Passo 6

Agora avaliamos em x=1:
N''(1)=1, D''(1)=1+1=2
Pelo Teorema de L’Hôpital, o limite é
limxto1l(xx-1-1ln xr) =N''(1)D''(1) =12

Resposta

12

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