Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é necessário justificar. (Dica: exatamente 2 das seguintes afirmações são verdadeiras)
(a) Para toda f:[0,1] R contínua, e tal que f(0)=f(1) existe um número c in(0,1) tal que f^prime(c)=0.
(b) Para toda f:[0,1] R contínua e diferenciável no intervalo aberto ( 0,1 ), existe um número c in(0,1) tal que f(1)-f(0)=f^prime(c).
(c) Nem todo polinômio de grau 3 possui ponto de inflexão.
(d) Toda f: R R periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmações é verdadeira ou falsa, sabendo que exatamente duas delas são verdadeiras. O conteúdo envolvido inclui o Teorema de Rolle, o Teorema do Valor Médio, análise de polinômios de grau 3 e propriedades de funções periódicas contínuas.

Passo 2

Afirmação (a): “Para toda f:[0,1]toR contínua, com f(0)=f(1), existe cin(0,1) tal que f'(c)=0.”
O Teorema de Rolle exige que f seja diferenciável em (0,1). Como aqui só se assume continuidade em [0,1], não podemos garantir f'(c)=0.
Logo, (a) é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “Para toda f:[0,1]toR contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1), existe cin(0,1) tal que
f(1)-f(0)=f'(c)

Isto é exatamente o Teorema do Valor Médio, pois
f(1)-f(0)=f'(c)cdot(1-0)=f'(c)
Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Nem todo polinômio de grau 3 possui ponto de inflexão.”
Se p(x)=ax^3+bx^2+cx+d com aneq0, então
p''(x)=6ax+2b
é uma reta não constante e tem exatamente uma raiz em R. Assim todo cúbico tem um ponto de inflexão.
Logo, (c) é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Toda f:RtoR periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.”
Como f é contínua em [0,1] (intervalo compacto), ela tem máximo em [0,1]. E como é periódica de período 1, esse máximo vale para todo R.
Portanto, (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira

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