Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é necessário justificar. (Dica: exatamente 2 das seguintes afirmações são verdadeiras)
(a) Para toda
contínua, e tal que
existe um número
tal que
.
(b) Para toda
contínua e diferenciável no intervalo aberto ( 0,1 ), existe um número
tal que
.
(c) Nem todo polinômio de grau 3 possui ponto de inflexão.
(d) Toda
periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.
(a) Para toda
(b) Para toda
(c) Nem todo polinômio de grau 3 possui ponto de inflexão.
(d) Toda
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmações é verdadeira ou falsa, sabendo que exatamente duas delas são verdadeiras. O conteúdo envolvido inclui o Teorema de Rolle, o Teorema do Valor Médio, análise de polinômios de grau 3 e propriedades de funções periódicas contínuas.
Passo 2
Afirmação (a): “Para toda
contínua, com
, existe
tal que
.”
O Teorema de Rolle exige que seja diferenciável em
. Como aqui só se assume continuidade em
, não podemos garantir
.
Logo, (a) é falsa.
O Teorema de Rolle exige que
Logo, (a) é falsa.
Passo 3
Afirmação (b): “Para toda
contínua em
e diferenciável em
, existe
tal que
”
Isto é exatamente o Teorema do Valor Médio, pois
Isto é exatamente o Teorema do Valor Médio, pois
Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “Nem todo polinômio de grau 3 possui ponto de inflexão.”
Se com
, então
Se
é uma reta não constante e tem exatamente uma raiz em
. Assim todo cúbico tem um ponto de inflexão.
Logo, (c) é falsa.
Logo, (c) é falsa.
Passo 5
Afirmação (d): “Toda
periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.”
Como é contínua em
(intervalo compacto), ela tem máximo em
. E como é periódica de período 1, esse máximo vale para todo
.
Portanto, (d) é verdadeira.
Como
Portanto, (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira