Calcule cada um dos limites
lim x 0(1+tg x)^1 / x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0(1+tan x)^1/x
Este é um limite do tipo “base elevada a algo que tende a infinito”. A ideia é usar o logaritmo natural para transformar a potência em produto e, em seguida, um desenvolvimento em série de Taylor de tan x e de ln(1+u).

Passo 2

Definimos
L = limxto0(1+tan x)^1/x
Se existir o limite
ell = limxto0ln(1+tan x)x,
então
L = e^ell

Passo 3

Fazemos as expansões em série para pequenos x:
tan x = x + x^33 + O(x^5),
e para u=tan x usamos
ln(1+u) = u - u^22 + O(u^3)
Substituindo u=tan x obtemos
ln(1+tan x) = l(x + tfracx^33 + O(x^5)r) - 12l(x + O(x^3)r)^2 + O(x^5) = x - x^22 + x^33 + O(x^4)

Passo 4

Logo,
ln(1+tan x)x = 1 - x2 + x^23 + O(x^3),
e ao fazermos xto0 teremos
ell = limxto0ln(1+tan x)x = 1
Portanto
L = e^ell = e^1 = e

Resposta

limxto0(1+tan x)^1/x = e

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