Em cada um dos seguintes campos vetoriais, aplicar o resultado do exercicio 6 para demonstrar que f não é um gradiente. Achar seguidamente um caminho fechado C tal que ointC f neq 0.
f(x, y)=y i-x j.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
f(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j, P(x,y)=y,;Q(x,y)=-x,
em todo o plano R^2, que é um domínio simplesmente conexo. Pelo resultado do exercício 6 (condição de Schwarz para ser campo conservativo), se f fosse gradiente teríamos
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partialpartial y(y)=1, partial Qpartial x =partialpartial x(-x)=-1
Como
1neq -1,
a condição partial P/partial y=partial Q/partial x falha, logo f não é um gradiente.

Passo 3

Para exibir um caminho fechado com integral não nula, escolhemos a circunferência unitária
C:;x=cos t,;y=sin t, tin[0,2pi]
Em coordenadas paramétricas,
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt
e o elemento fcdot d r é
P,dx+Q,dy =y,dx+(-x),dy =sin tl(-sin t,dtr)-cos tl(cos t,dtr) =-(sin^2t+cos^2t),dt =-dt

Passo 4

Integrando ao longo de C:
ointCfcdot d r =integral0^2pi(-1),dt =-2pineq 0

Resposta

Um caminho fechado que dá integral diferente de zero é a circunferência unitária
C:;x=cos t,;y=sin t,;tin[0,2pi],
pois
ointCfcdot d r=-2pineq 0

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