Em cada um dos seguintes campos vetoriais, aplicar o resultado do exercicio 6 para demonstrar que
não é um gradiente. Achar seguidamente um caminho fechado
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
em todo o plano
, que é um domínio simplesmente conexo. Pelo resultado do exercício 6 (condição de Schwarz para ser campo conservativo), se
fosse gradiente teríamos
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
a condição
falha, logo
não é um gradiente.
Passo 3
Para exibir um caminho fechado com integral não nula, escolhemos a circunferência unitária
Em coordenadas paramétricas,
e o elemento
é
Passo 4
Integrando ao longo de
:
Resposta
Um caminho fechado que dá integral diferente de zero é a circunferência unitária
pois