5 Determine o centro de massa da superfície homogênea S: z=x^2+y^2 com 0 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma superfície homogênea S dada por
z = x^2 + y^2, 0 <= z <= 1
O conteúdo aqui é cálculo de centro de massa de uma superfície por coordenadas polares, usando
bar x = 1Aintegral duplaS x,dS, bar y = 1Aintegral duplaS y,dS, bar z = 1Aintegral duplaS z,dS,
onde
A = integral duplaS dS

Passo 2

Como a superfície é dada por z=f(x,y)=x^2+y^2 sobre a região x^2+y^2<=1, usamos coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, z = r^2, 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi
O elemento de área é
dS = raiz1 + fx^2 + fy^2,dx,dy = raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2,dx,dy = raiz1+4r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Calcular a área A:
A = integral0^2pi!integral0^1 raiz1+4r^2;r,dr,dtheta = 2pi integral0^1 rraiz1+4r^2,dr
Fazendo u=1+4r^2, du=8r,dr, obtemos
integral0^1 rraiz1+4r^2,dr = 112l[(1+4r^2)^3/2r]0^1 = 112l(5^3/2-1r)
Logo
A = 2pi;112l(5^3/2-1r) = pi6l(5^3/2-1r)
Por simetria, bar x=bar y=0.

Passo 4

Calcular o momento em z:
integral duplaS z,dS = integral0^2pi!integral0^1 r^2;raiz1+4r^2;r,dr,dtheta = 2pi integral0^1 r^3raiz1+4r^2,dr
Com a mesma substituição u=1+4r^2, du=8r,dr, obtemos
integral0^1 r^3raiz1+4r^2,dr = 116l[tfrac15(u^5/2-1)-tfrac13(u^3/2-1)r]1^5 = 5^5/2+110,(5^3/2-1);112,(5^3/2-1)
Simplificando, o momento em z é
integral duplaS z,dS = 2pi;5^5/2+110,(5^3/2-1);112,(5^3/2-1) = pi6;5^5/2+15^3/2-1

Passo 5

O coordenada z do centro de massa é
bar z = 1Aintegral duplaSz,dS = dfracpi65^5/2+15^3/2-1 dfracpi6l(5^3/2-1r) = 5^5/2+110,(5^3/2-1)

Resposta

O centro de massa é
boxedl(bar x,bar y,bar zr) = l(0,,0,,tfrac5^5/2+110,(5^3/2-1)r)

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