Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais III e B

Passo 1

Temos a equação de onda unidimensional
utt=9,uxx,
em 0<x<2, t>0, com condições de contorno fixas
u(0,t)=0, u(2,t)=0,
e condições iniciais (caso III e B)
u(x,0)=x, ut(x,0)=-sin!l(tfrac3pi x2r)
O conteúdo aqui é expansão em modos normais (séries de senos) para corda fixa.

Passo 2

A solução geral por separação de variáveis se escreve como série em autofunções sin(npi x/2):
u(x,t) = sumn=1^infty l(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r) sin!l(tfracnpi x2r),
onde omegan = tfracnpi cL = tfracnpicdot32 = tfrac3npi2.

Passo 3

Coeficientes An vêm da expansão de u(x,0)=x:
x = sumn=1^infty Ansin!l(tfracnpi x2r)
Pela ortogonalidade,
An =22integral0^2xsin!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2xsin!l(tfracnpi x2r),dx
Integramos por partes:
An =-4(-1)^nnpi

Passo 4

Coeficientes Bn vêm de ut(x,0)=-sinl(tfrac3pi x2r):
ut(x,0) =sumn=1^infty Bn,omegan sin!l(tfracnpi x2r) stackrel!= -sin!l(tfrac3pi x2r)
Logo
Bn =22,omegan integral0^2l(-sin(tfrac3pi x2)r) sin!l(tfracnpi x2r),dx =-1omegan integral0^2sin(tfrac3pi x2),sin!l(tfracnpi x2r),dx
Pela ortogonalidade de senos no intervalo [0,2], só o modo n=3 é não nulo e
integral0^2sin(tfrac3pi x2)sin(tfrac3pi x2),dx=1. Logo,
B3=-1omega3 =-1tfrac3cdot3pi2 =-29pi, Bn=0,(nneq3)

Passo 5

Substituindo em
u(x,t) =sumn=1^infty Ancosl(tfrac3npi2tr)sin!l(tfracnpi x2r) +sumn=1^infty Bnsinl(tfrac3npi2tr)sin!l(tfracnpi x2r),
temos
u(x,t) =sumn=1^infty!l(-tfrac4(-1)^nnpir) cos!l(tfrac3npi2,tr), sin!l(tfracnpi x2r) ;-;29pi, sin!l(tfrac9pi2,tr), sin!l(tfrac3pi x2r)

Resposta

boxed u(x,t) = sumn=1^inftygl(-4(-1)^nnpigr) cos!l(tfrac3npi2tr) sin!l(tfracnpi x2r) ;-;29pi, sin!l(tfrac9pi2tr), sin!l(tfrac3pi x2r)

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