Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação:
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I)
(II)
(III)
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A)
(B)
(C)
Determine a solução
do problema para:
Condições Iniciais III e B
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
(C)
Condições Iniciais III e B
Passo 1
Temos a equação de onda unidimensional
em
,
, com condições de contorno fixas
e condições iniciais (caso III e B)
O conteúdo aqui é expansão em modos normais (séries de senos) para corda fixa.
Passo 2
A solução geral por separação de variáveis se escreve como série em autofunções
:
onde
.
Passo 3
Coeficientes
vêm da expansão de
:
Pela ortogonalidade,
Integramos por partes:
Passo 4
Coeficientes
vêm de
:
Logo
Pela ortogonalidade de senos no intervalo
, só o modo
é não nulo e
. Logo,
Passo 5
Substituindo em
temos