Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
(b) y^prime=(3 x^2-1) /(3+2 y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 3x^2 - 13 + 2y
Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis x e y e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Reconhecendo que y' = dydx, reescrevemos
dydx = 3x^2 - 13 + 2y
Multiplicando ambos os lados por (3+2y),dx obtemos
(3+2y),dy = (3x^2-1),dx

Passo 3

Agora integramos cada membro separadamente:
integral (3+2y),dy = integral (3x^2-1),dx
No lado esquerdo
integral 3,dy = 3y, integral 2y,dy = y^2,
e no direito
integral 3x^2,dx = x^3, integral (-1),dx = -x
Logo, após a integração,
3y + y^2 = x^3 - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Bast a rearranjar para a forma implícita da solução geral:
y^2 + 3y - x^3 + x = C

Resposta

y^2 + 3y - x^3 + x = C,
com C constante arbitrária.

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