Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
-
sobre o plano
;
-
sobre o plano
;
-
sobre o
(dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);
-
em
.
-
.
-
em
.
Passo 1
O enunciado pede para cada campo vetorial
verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Em
usamos o teste
e em
verificamos
. Domaines simplesmente conexos garantem que essa condição seja suficiente.
Passo 2
Para
em
temos
logo
e o domínio é
(simplesmente conexo). Assim
é conservativo. Buscamos
com
Então
Logo
.
Passo 3
Para
em
calculamos
portanto o teste é satisfeito e o domínio é
. Assim há potencial
com
e
Logo
.
Passo 4
Para
em
já se sabe que
mas o domínio não é simplesmente conexo (tem furo no 0). De fato o integral em torno de um círculo centrado na origem não é zero (vale
). Logo
não é conservativo em
.
Passo 5
Para
em
calculamos o rotor:
então
é conservativo. Procuramos
tal que
Depois
e
Logo
.
Passo 6
Para
em
temos
e domínio simplesmente conexo, logo é conservativo. Seja
com
Então
Por fim
Logo
.
Passo 7
Para
em
verificamos
e domínio simplesmente conexo. Buscamos
com
Então
E
Logo
.
Resposta
- Conservativo.
. - Conservativo.
. - Não é conservativo em
. - Conservativo.
. - Conservativo.
. - Conservativo.
.