Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule um potencial de F.
  1. F(x, y)=(3 y^2, 6 x y) sobre o plano R^2;
  2. F(x, y)=e^x cos y i-e^x sin y k sobre o plano R^2;
  3. F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2) sobre o R^2 setminus(0,0) (dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);
  4. F(x, y, z)=e^z i+2 y j+x e^z k em R^3.
  5. F(x, y, z)=(e^y+2 z, x e^y+2 z+z, 2 x e^y+2 z+y+z^2) e m R^3.
  6. F(x, y, z)=(y sin z, x sin z+2 y z^2 e^y^2, x y cos z+2 z e^y^2+2 zz^2+1) em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para cada campo vetorial F verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi tal que nablaphi=F. Em R^2 usamos o teste partial P/partial y=partial Q/partial x e em R^3 verificamos nablatimesF=0. Domaines simplesmente conexos garantem que essa condição seja suficiente.

Passo 2

Para F(x,y)=(3y^2,6xy) em R^2 temos
partialpartial y(3y^2)=6y, partialpartial x(6xy)=6y,
logo partial P/partial y=partial Q/partial x e o domínio é R^2 (simplesmente conexo). Assim F é conservativo. Buscamos phi com
partialphipartial x=3y^2 ;Longrightarrow; phi(x,y)=3xy^2+h(y)
Então
partialphipartial y=6xy+h'(y)=6xy ;Longrightarrow; h'(y)=0;Longrightarrow;h(y)=C
Logo phi(x,y)=3xy^2+C.

Passo 3

Para F(x,y)=(e^xcos y,,-e^xsin y) em R^2 calculamos
partialpartial y(e^xcos y)=-e^xsin y, partialpartial x(-e^xsin y)=-e^xsin y,
portanto o teste é satisfeito e o domínio é R^2. Assim há potencial phi com
partialphipartial x=e^xcos y ;Longrightarrow; phi(x,y)=e^xcos y+h(y),
e
partialphipartial y=-e^xsin y+h'(y)=-e^xsin y ;Longrightarrow; h'(y)=0
Logo phi(x,y)=e^xcos y+C.

Passo 4

Para F(x,y)=l(-tfracyx^2+y^2,,tfracxx^2+y^2r) em R^2setminus0 já se sabe que nablatimesF=0 mas o domínio não é simplesmente conexo (tem furo no 0). De fato o integral em torno de um círculo centrado na origem não é zero (vale 2pi). Logo F não é conservativo em R^2setminus0.

Passo 5

Para F(x,y,z)=(e^z,,2y,,x e^z) em R^3 calculamos o rotor:
nablatimesF=(0,,0,,0),
então F é conservativo. Procuramos phi tal que
partialphipartial x=e^z ;Longrightarrow; phi=xe^z+h(y,z)
Depois
partialphipartial y=hy=2y ;Longrightarrow; h(y,z)=y^2+g(z),
e
partialphipartial z=xe^z+g'(z)=x e^z ;Longrightarrow; g'(z)=0
Logo phi(x,y,z)=xe^z+y^2+C.

Passo 6

Para F(x,y,z)=l(e^y+2z,,x e^y+2z+z,,2x e^y+2z+y+z^2r) em R^3 temos nablatimesF=0 e domínio simplesmente conexo, logo é conservativo. Seja phi com
partialphipartial x=e^y+2z ;Longrightarrow; phi=xe^y+2z+h(y,z)
Então
partialphipartial y=xe^y+2z+hy=x e^y+2z+z ;Longrightarrow; hy=z ;Longrightarrow; h=yz+g(z)
Por fim
partialphipartial z=2x e^y+2z+y+g'(z)=2x e^y+2z+y+z^2 ;Longrightarrow; g'(z)=z^2 ;Longrightarrow; g(z)=tfracz^33
Logo phi(x,y,z)=xe^y+2z+yz+tfracz^33+C.

Passo 7

Para F(x,y,z)=l(ysin z,;xsin z+2yz^2e^y^2,;xycos z+2ze^y^2+tfrac2zz^2+1r) em R^3 verificamos nablatimesF=0 e domínio simplesmente conexo. Buscamos phi com
partialphipartial x=ysin z ;Longrightarrow; phi=xysin z+h(y,z)
Então
partialphipartial y=xsin z+hy=xsin z+2yz^2e^y^2 ;Longrightarrow; hy=2yz^2e^y^2 ;Longrightarrow; h(z,y)=z^2e^y^2+g(z)
E
partialphipartial z=xycos z+2ze^y^2+g'(z)=xycos z+2ze^y^2+tfrac2zz^2+1 ;Longrightarrow; g'(z)=2zz^2+1 ;Longrightarrow; g(z)=lnl(z^2+1r)
Logo phi(x,y,z)=xysin z+z^2e^y^2+ln(z^2+1)+C.

Resposta

  1. Conservativo. phi(x,y)=3xy^2+C.
  2. Conservativo. phi(x,y)=e^xcos y+C.
  3. Não é conservativo em R^2setminus0.
  4. Conservativo. phi(x,y,z)=xe^z+y^2+C.
  5. Conservativo. phi(x,y,z)=xe^y+2z+yz+tfracz^33+C.
  6. Conservativo. phi(x,y,z)=xysin z+z^2e^y^2+ln(z^2+1)+C.

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