Verifique em cada caso se é possível utilizar a regra de L’hospital. Se sim, calcule o limite.
lim x 0(1x-1ln (x+1))

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0l(1x - 1ln(1+x)r)
O conteúdo é limites de funções e uso da regra de L’Hôpital. Precisamos ver se dá para aplicar L’Hôpital e, em caso afirmativo, calcular o valor.

Passo 2

Observando cada parcela quando xto0:
tfrac1xto+infty e ln(1+x)sim x, logo tfrac1ln(1+x)to+infty. Temos a forma infty - infty, que não é diretamente tratável pela regra de L’Hôpital.

Passo 3

Para obter uma indeterminação do tipo 0/0, colocamos tudo num só quociente:
1x - 1ln(1+x) = ln(1+x)-x,x;ln(1+x),
Quando xto0, numerador ln(1+x)-xto0 e denominador xln(1+x)to0. Agora temos 0/0.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
numerador:
ddx[ln(1+x)-x] = 11+x-1 = -x1+x,
denominador:
ddx[xln(1+x)] = ln(1+x) + xcdot11+x
O limite vira
limxto0 -tfracx1+xln(1+x)+tfracx1+x = limxto0 -x(1+x)ln(1+x)+x

Passo 5

No denominador fatoramos x:
(1+x)ln(1+x)+x = xl((1+x)ln(1+x)x+1r)
Como ln(1+x)xto1, quando xto0 isso tende a x(1+1)=2x. Portanto o quociente aproxima-se de
-x2x=-tfrac12

Resposta

-,tfrac12

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