Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
.
Passo 1
O enunciado pede para, dado o campo vetorial
,
determinar se
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. Informações relevantes que o enunciado dá:
- Os componentes do campo são, chamando
, - O domínio é
inteiro. - Perguntas: (1)
é conservativo? (2) Se sim, achar um potencial tal que .
Passo 2
Explicação do critério que vou usar (sem entrar em detalhes muito técnicos): se um campo vetorial
tem derivadas parciais contínuas em todo
(o que é verdade aqui, pois as funções dadas são suaves) e seu rotacional (curl) é o vetor nulo em
, então
é conservativo. O rotacional é
Vou calcular essas derivadas parciais e verificar se cada componente é zero.
Passo 3
Calcular
. Lembrando que
- Derivando
em relação a dá (pois e são constantes ao derivar por ). - Derivando
em relação a : é constante em , e . Logo essa derivada é . - A última parcela
não depende de , então sua derivada é .
Portanto
Passo 4
Calcular
. Lembrando que
- Derivando
por dá . - Para
, é constante em e a derivada de é . Então a derivada é .
Logo
Comparando com o resultado do passo anterior vemos que
Passo 5
Calcular
e
.
-
. Derivando por : . -
. Derivando por : (as demais parcelas de não dependem de ).
Portanto
Passo 6
Calcular
e
.
-
com é simplesmente (pois a segunda parcela não depende de ). -
com é também .
Logo
Passo 7
Como todas as três componentes do rotacional são zero em
, ou seja,
e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que
é conservativo em
. Agora vou encontrar explicitamente uma função potencial
tal que
, isto é,
Passo 8
Começo integrando
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária que não depende de
(constante de integração em relação a
).
Passo 9
Agora imposto que
. Calculo
a partir da expressão obtida:
Devemos ter
Cancelando
dos dois lados obtemos
Integro essa igualdade em relação a
:
onde
é uma função que depende só de
.
Portanto até agora
Passo 10
Finalmente uso a condição para a derivada em
. Calculo
da expressão acima:
- Derivando
por dá . - Derivando
por dá (pois é constante ao derivar por ). - Derivando
por dá .
Então
Essa expressão deve ser igual a
. Igualando temos
Integro
em relação a
:
onde
é constante real.
Passo 11
Concluo que uma função potencial (qualquer uma, até constante) é
Posso retirar a constante
(ou tomar
) se quiser a forma mais simples. Isso satisfaz
, como verificado pelas etapas anteriores.
Resposta
Sim.