Por cada um dos seguintes campos vetoriais \mathbf{F}, determine se \mathbf{F} é conservativo. Se sim, calcule um potencial de \mathbf{F}.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(y \sin z, x \sin z+2 y z^{2} e^{y^{2}}, x y \cos z+2 z e^{y^{2}}+\frac{2 z}{z^{2}+1}\right) e m \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para, dado o campo vetorial \mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y\sin z,\; x\sin z+2y z^{2} e^{y^{2}},\; x y\cos z+2z e^{y^{2}}+\tfrac{2z}{z^{2}+1}\bigr),
determinar se \mathbf{F} é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Os componentes do campo são, chamando P,Q,R, P(x,y,z)=y\sin z,\qquad Q(x,y,z)=x\sin z+2y z^{2} e^{y^{2}},\qquad R(x,y,z)=x y\cos z+2z e^{y^{2}}+\frac{2z}{z^{2}+1}.
  • O domínio é \mathbb{R}^3 inteiro.
  • Perguntas: (1) \mathbf{F} é conservativo? (2) Se sim, achar um potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 2

Explicação do critério que vou usar (sem entrar em detalhes muito técnicos): se um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) tem derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^3 (o que é verdade aqui, pois as funções dadas são suaves) e seu rotacional (curl) é o vetor nulo em \mathbb{R}^3, então \mathbf{F} é conservativo. O rotacional é
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Vou calcular essas derivadas parciais e verificar se cada componente é zero.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y}. Lembrando que
R(x,y,z)=x y\cos z+2z e^{y^{2}}+\frac{2z}{z^{2}+1}.
  • Derivando x y\cos z em relação a y x\cos z (pois x e \cos z são constantes ao derivar por y).
  • Derivando 2z e^{y^{2}} em relação a y: 2z é constante em y, e \dfrac{d}{dy}e^{y^{2}}=2y e^{y^{2}}. Logo essa derivada é 2z\cdot 2y e^{y^{2}} = 4y z e^{y^{2}}.
  • A última parcela \dfrac{2z}{z^{2}+1} não depende de y, então sua derivada é 0.
Portanto
\frac{\partial R}{\partial y}=x\cos z+4y z e^{y^{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial z}. Lembrando que
Q(x,y,z)=x\sin z+2y z^{2} e^{y^{2}}.
  • Derivando x\sin z por z x\cos z.
  • Para 2y z^{2} e^{y^{2}}, \;2y e^{y^{2}} é constante em z e a derivada de z^{2} é 2z. Então a derivada é 2y e^{y^{2}}\cdot 2z = 4y z e^{y^{2}}.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial z}=x\cos z+4y z e^{y^{2}}.
Comparando com o resultado do passo anterior vemos que
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z} e \dfrac{\partial R}{\partial x}.
  • P(x,y,z)=y\sin z. Derivando por z: \dfrac{\partial P}{\partial z}=y\cos z.
  • R(x,y,z)=x y\cos z+\cdots. Derivando por x: \dfrac{\partial R}{\partial x}=y\cos z (as demais parcelas de R não dependem de x).
Portanto
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y\cos z - y\cos z =0.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} com Q=x\sin z+2y z^{2} e^{y^{2}} é simplesmente \sin z (pois a segunda parcela não depende de x).
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} com P=y\sin z é também \sin z.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\sin z-\sin z=0.

Passo 7

Como todas as três componentes do rotacional são zero em \mathbb{R}^3, ou seja,
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0},
e as derivadas parciais são contínuas, concluímos que \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^3. Agora vou encontrar explicitamente uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, isto é,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P=y\sin z,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q=x\sin z+2y z^{2} e^{y^{2}},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R.

Passo 8

Começo integrando \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=y\sin z em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int y\sin z\;dx = x y\sin z + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que não depende de x (constante de integração em relação a x).

Passo 9

Agora imposto que \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=Q. Calculo \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x\sin z + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Devemos ter
x\sin z + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=x\sin z+2y z^{2} e^{y^{2}}.
Cancelando x\sin z dos dois lados obtemos
\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=2y z^{2} e^{y^{2}}.
Integro essa igualdade em relação a y:
g(y,z)=\int 2y z^{2} e^{y^{2}}\;dy = z^{2}\int 2y e^{y^{2}}\;dy = z^{2} e^{y^{2}} + h(z),
onde h(z) é uma função que depende só de z.
Portanto até agora
\varphi(x,y,z)=x y\sin z + z^{2} e^{y^{2}} + h(z).

Passo 10

Finalmente uso a condição para a derivada em z. Calculo \dfrac{\partial \varphi}{\partial z} da expressão acima:
  • Derivando x y\sin z por z x y\cos z.
  • Derivando z^{2} e^{y^{2}} por z 2z e^{y^{2}} (pois e^{y^{2}} é constante ao derivar por z).
  • Derivando h(z) por z h'(z).
Então
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=x y\cos z + 2z e^{y^{2}} + h'(z).
Essa expressão deve ser igual a R(x,y,z)=x y\cos z+2z e^{y^{2}}+\dfrac{2z}{z^{2}+1}. Igualando temos
h'(z)=\frac{2z}{z^{2}+1}.
Integro h'(z) em relação a z:
h(z)=\int \frac{2z}{z^{2}+1}\;dz = \ln\bigl(z^{2}+1\bigr) + C,
onde C é constante real.

Passo 11

Concluo que uma função potencial (qualquer uma, até constante) é
\varphi(x,y,z)=x y\sin z + z^{2} e^{y^{2}} + \ln\bigl(z^{2}+1\bigr) + C.
Posso retirar a constante C (ou tomar C=0) se quiser a forma mais simples. Isso satisfaz \nabla\varphi=\mathbf{F}, como verificado pelas etapas anteriores.

Resposta

Sim. \varphi(x,y,z)=x y\sin z + z^{2} e^{y^{2}} + \ln\bigl(z^{2}+1\bigr)+C

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