Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) :
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=(cos (x)-x)(sin (x)+x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivadas da função
f(x) = (cos(x) - x),(sin(x) + x)
Aqui vamos usar a regra do produto e, para simplificar, as identidades elementares de trigonometria na tarefa de simplificação.

Passo 2

Vamos chamar
u(x) = cos(x) - x, v(x) = sin(x) + x
Então, pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Calculando as derivadas de u e v:
u'(x) = -sin(x) - 1, v'(x) = cos(x) + 1
Logo,
f'(x) = l(-sin(x)-1r),(sin(x)+x) + (cos(x)-x),l(cos(x)+1r)

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos f'(x).
Primeiro termo:
(-sin x - 1)(sin x + x) = -sin^2 x - xsin x - sin x - x
Segundo termo:
(cos x - x)(cos x + 1) = cos^2 x + cos x - xcos x - x
Somando:
f'(x) = l(cos^2 x - sin^2 xr) - xsin x - xcos x + cos x - sin x -2x
Como cos^2 x - sin^2 x = cos(2x), fica
boxed f'(x) = cos(2x) - xl(sin x + cos xr) + cos x - sin x -2x

Passo 4

Para obter f''(x), derivamos termo a termo:
  1. dfracddx[cos(2x)] = -2sin(2x)
  2. dfracddxl[-x(sin x + cos x)r] = -l[sin x + cos x + x(cos x - sin x)r]
  3. dfracddx[cos x - sin x] = -sin x - cos x
  4. dfracddx[-2x] = -2
Somando tudo:
f''(x) = -2sin(2x) - l[sin x + cos x + x(cos x - sin x)r] - (sin x + cos x) -2

Passo 5

Agrupando termos semelhantes em f''(x):
f''(x) = -2sin(2x) -2sin x -2cos x - xl(cos x - sin xr) -2
Podemos também escrever
boxed f''(x) = -2sin(2x) + xl(sin x - cos xr) -2l(sin x + cos xr) -2

Resposta

f'(x)=cos(2x)-xl(sin x+cos xr)+cos x-sin x-2x.
f''(x)=-2sin(2x)+xl(sin x-cos xr)-2l(sin x+cos xr)-2.

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