Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de .
44. Determinou-se que a base e a altura de um triângulo têm medidas correspondentes a 70 cm e 40 cm , respectivamente. Suponha que cada medida tenha um erro de, no máximo, centímetros.
(a) Use diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do triângulo.
(b) Qual é o erro máximo estimado para a área do triângulo no caso de a base e a altura serem medidas com um erro de, no máximo ?
Passo 1
O enunciado traz dois problemas que usam diferenciais (aproximações lineares): . Estimar o volume de estanho numa lata cilíndrica fechada de diâmetro ,cm e altura ,cm, sabendo que a espessura da folha é ,cm. . Dado um triângulo com base ,cm e altura ,cm, cada medida sujeita a um erro máximo de cm, usar diferenciais para estimar o erro máximo na área , e depois calcular esse erro quando ,cm.
Passo 2
Para a lata cilíndrica definimos o volume interno aproximado por
com ,cm e ,cm. Como a folha tem espessura ,cm (pequena), o volume do metal será aproximadamente a área total da superfície vezes . A área total da superfície fechada é
Passo 3
Calculamos S e o volume de estanho:
S = 2pi,(4)(12)+2pi,(4)^2 = 96pi + 32pi = 128pi,
Vestanhoapprox Scdot t = 128pi times 0,04 = 5,12piapprox16,1 cm^3
Passo 4
Para o triângulo temos A=tfrac12 bh. As diferenciais são