Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm.
44. Determinou-se que a base e a altura de um triângulo têm medidas correspondentes a 70 cm e 40 cm , respectivamente. Suponha que cada medida tenha um erro de, no máximo, varepsilon centímetros.
(a) Use diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do triângulo.
(b) Qual é o erro máximo estimado para a área do triângulo no caso de a base e a altura serem medidas com um erro de, no máximo 0,64 cm ?

Passo 1

O enunciado traz dois problemas que usam diferenciais (aproximações lineares):
1. Estimar o volume de estanho numa lata cilíndrica fechada de diâmetro 8,cm e altura 12,cm, sabendo que a espessura da folha é 0,04,cm.
2. Dado um triângulo com base b=70,cm e altura h=40,cm, cada medida sujeita a um erro máximo de varepsilon cm, usar diferenciais para estimar o erro máximo na área A=tfrac12 bh, e depois calcular esse erro quando varepsilon=0,64,cm.

Passo 2

Para a lata cilíndrica definimos o volume interno aproximado por
V=pi r^2 h,
com r=tfrac82=4,cm e h=12,cm. Como a folha tem espessura t=0,04,cm (pequena), o volume do metal será aproximadamente a área total da superfície vezes t. A área total da superfície fechada é
S = underbrace2pi r hlateral+underbrace2pi r^2duas bases

Passo 3

Calculamos S e o volume de estanho:
S = 2pi,(4)(12)+2pi,(4)^2 = 96pi + 32pi = 128pi,
Vestanhoapprox Scdot t = 128pi times 0,04 = 5,12piapprox16,1 cm^3

Passo 4

Para o triângulo temos A=tfrac12 bh. As diferenciais são
dA = partial Apartial b,db + partial Apartial h,dh = 12 h,db + 12 b,dh
Como ambos os erros db e dh são no máximo varepsilon e têm mesmo sinal para gerar o maior erro, temos
|dA|max = 12l(h + br),varepsilon

Passo 5

Substituindo b=70 e h=40:
|dA|max = 12(40+70),varepsilon = 55,varepsilon
Para varepsilon=0,64 cm,
|dA|max = 55times0,64 = 35,2 cm^2

Resposta

Volume de estanho approx16,1 cm^3.
(a) Erro máximo em área |dA|max=55,varepsilon.
(b) Para varepsilon=0,64, erro approx35,2 cm^2.

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