Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+4 y=3 sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 3sin(2x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar achar a solução geral como soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Para encontrar a solução complementar resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 4y = 0
A característica é
r^2 + 4 = 0 ;Longrightarrow; r = pm 2i,
logo a solução complementar é
yc(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 3

Como o termo forçante 3sin(2x) coincide com as raízes imaginárias ±2i, fazemos o palpite multiplicado por x:
yp(x) = xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos yp'' + 4yp. Após derivar duas vezes e somar 4yp, observa-se que os termos em xcos(2x) e xsin(2x) se cancelam, restando
yp'' + 4yp = -4Asin(2x) + 4Bcos(2x)

Passo 5

Igualamos essa expressão ao lado direito 3sin(2x):
-4Asin(2x) + 4Bcos(2x) = 3sin(2x) + 0cos(2x)
Isso dá o sistema
-4A = 3, 4B = 0,
logo
A = -tfrac34, B = 0
Assim
yp(x) = -tfrac34,xcos(2x)

Passo 6

A solução geral é a soma de yc e yp:
y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) ;-;tfrac34,xcos(2x)

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) - 34,xcos(2x)

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