Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) :
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^4 x^2-sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a primeira e a segunda derivadas da função
f(x)=e^4x^2-sin(x)
O conteúdo principal que vamos usar é a regra da cadeia para derivar exponenciais e, na segunda derivada, também a regra do produto.

Passo 2

Se definirmos
g(x)=4x^2-sin(x),
então f(x)=e^g(x). Pela regra da cadeia, a primeira derivada é
f'(x)=g'(x),e^g(x)

Passo 3

Calculemos
g'(x)=ddxl(4x^2-sin(x)r)=8x-cos(x)
Logo
f'(x)=(8x-cos(x)),e^4x^2-sin(x)

Passo 4

Para a segunda derivada usamos que f'(x)=h(x),e^g(x) com h(x)=8x-cos(x). Pela regra do produto e da cadeia,
f''(x)=l(h'(x)+h(x),g'(x)r),e^g(x)
Aqui
h'(x)=ddx(8x-cos(x))=8+sin(x) e g'(x)=8x-cos(x)

Passo 5

Substituindo em f''(x):
f''(x)=l[8+sin(x)+(8x-cos(x))^2r],e^4x^2-sin(x)

Resposta

f'(x)=(8x-cos(x)),e^4x^2-sin(x),
f''(x)=l[8+sin(x)+(8x-cos(x))^2r],e^4x^2-sin(x)

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