[G1, G2] Use o Teorema 1.1 e os teoremas dados em sala de aula para derivar as seguintes funções:
f(x)=x+2raiz[5]x^2+x / 2-3+e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x+2raiz[5]x^2+tfrac x2-3+e^x
O conteúdo que vamos usar é: derivada de soma, derivada de exponencial, regra do produto (ou quociente) e regra da cadeia aplicada a potências.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=A(x)+B(x),
onde
A(x)=,(x+2),(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac15, B(x)=e^x
Então
f'(x)=A'(x)+B'(x)

Passo 3

A derivada de B(x)=e^x é imediata:
B'(x)=e^x

Passo 4

Para A'(x) usamos a regra do produto. Como (x+2)'=1,
A'(x) =1cdot (x^2+tfrac x2-3)^-tfrac15 +(x+2),ddxl[(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac15r]

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia à função
h(x)=x^2+tfrac x2-3,
com expoente -tfrac15. Sabendo que
ddxl[h(x)^-tfrac15r] =-tfrac15,h(x)^-tfrac65cdot h'(x),
e como
h'(x)=2x+tfrac12,
ficamos com
ddxl[(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac15r] =-tfrac15,(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac65,(2x+tfrac12)

Passo 6

Substituindo em A'(x):
A'(x) =(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac15 +(x+2)l[-tfrac15,(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac65,(2x+tfrac12)r]
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f'(x) =(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac15 -x+25,(2x+tfrac12),(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac65 +e^x

Resposta

f'(x) =(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac15 -x+25,(2x+tfrac12),(x^2+tfrac x2-3)^-tfrac65 +e^x

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