[G1, G2] Use o Teorema 1.1 e os teoremas dados em sala de aula para derivar as seguintes funções:
f(x)=sin (x^2-1)+(cos (x-1)+2 x^2)^1 / 5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sinl(x^2-1r)+l(cos(x-1)+2x^2r)^1/5.
O conteúdo necessário é a regra da soma de funções, o Teorema 1.1 para derivar funções trigonométricas e o uso da regra da cadeia para funções compostas e potência.

Passo 2

Separamos f em duas partes:
u(x)=sinl(x^2-1r) e
v(x)=l(cos(x-1)+2x^2r)^1/5
Pela linearidade da derivada,
f'(x)=u'(x)+v'(x)

Passo 3

Para u(x)=sinl(w(x)r) com w(x)=x^2-1, aplicamos a regra da cadeia e o fato de
ddxsin(w)=cos(w),w'.
Aqui w'(x)=2x, logo
u'(x) =cosl(x^2-1r)cdot 2x

Passo 4

Para
v(x)=l(h(x)r)^1/5 com
h(x)=cos(x-1)+2x^2, usamos a regra da cadeia para potências:
ddxl(h(x)r)^1/5 =15l(h(x)r)^-4/5,h'(x)
Agora
h'(x) =-sin(x-1)cdotddx(x-1)+4x =-sin(x-1)+4x
Portanto
v'(x) =15l(cos(x-1)+2x^2r)^-4/5l(-sin(x-1)+4xr)

Resposta

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =2xcosl(x^2-1r) +15l(cos(x-1)+2x^2r)^-4/5l(-sin(x-1)+4xr)

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