Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
f(x)=log 2(sin (x)+1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=log2l(sin(x)+1r)
e pede f'(x) e f''(x). Para isso vamos usar que, para u(x)>0,
ddxl[logau(x)r] =u'(x)u(x),ln(a)
(além das regras de derivação de sin e cos e a regra do quociente).

Passo 2

Defina u(x)=sin(x)+1. Então u'(x)=cos(x). Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo de base 2,
f'(x) =u'(x)u(x),ln(2) =cos(x)l(sin(x)+1r),ln(2)

Passo 3

Para f''(x) precisamos derivar
f'(x) =1ln(2);cos(x)sin(x)+1
Use a regra do quociente em
g(x)=cos(x)sin(x)+1,
onde g'(x)=-sin(x),(sin(x)+1)-cos^2(x)(sin(x)+1)^2. Observe que
-sin(x),(sin(x)+1)-cos^2(x) = -l(sin^2(x)+sin(x)+cos^2(x)r) =-l(1+sin(x)r)
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g'(x) =-1+sin(x)(sin(x)+1)^2 =-1sin(x)+1
Multiplicando por 1/ln(2) obtemos
f''(x) =-1l(sin(x)+1r),ln(2)

Resposta

f'(x)=cos(x)l(sin(x)+1r),ln(2), f''(x)=-1l(sin(x)+1r),ln(2)

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