Resolva as equações diferenciais
a y ux=eta x uy

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial de primeira ordem
a,y,ux=eta,x,uy,
onde a e eta são constantes. Para resolver, vamos empregar o método das características, que consiste em achar curvas (x(t),y(t)) ao longo das quais u é constante.

Passo 2

Escrevemos a PDE na forma
P(x,y),ux+Q(x,y),uy=0
reconhecendo que
P(x,y)=a,y, Q(x,y)=-eta,x,
pois a,y,ux-eta,x,uy=0.

Passo 3

Pelo método das características, as curvas satisfazem
dxP(x,y)=dyQ(x,y)=du0
Como tfracdu0=0, concluímos que u é constante ao longo das curvas definidas por
dxa,y=dy-eta,x

Passo 4

Integramos o sistema das duas primeiras frações:
dxa,y=-dyeta,x Longrightarrow eta,x,dx + a,y,dy = 0
Integrando, obtemos
eta,x^22 + a,y^22 = C Longrightarrow eta,x^2+a,y^2=kappa,
onde kappa é constante ao longo de cada característica.

Passo 5

Como u é constante sempre que eta,x^2+a,y^2 é constante, a solução geral é
u(x,y)=Fl(eta,x^2+a,y^2r),
em que F é uma função arbitrária de uma variável.

Resposta

u(x,y)=Fl(eta,x^2+a,y^2r),
com F função arbitrária.

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