Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
f(x)=e^cos (x)+x

Passo 1

O enunciado nos pede as derivadas primeira e segunda de f(x)=e^cos(x)+x. O conteúdo principal é a regra da cadeia para diferenciar exponenciais compostos e a regra do produto para a segunda derivada.

Passo 2

Definimos u(x)=cos(x)+x. Logo,
u'(x) = -sin(x) + 1
Aplicando a regra da cadeia na exponencial, temos
f'(x) = u'(x),e^u(x) = (1-sin(x)),e^cos(x)+x

Passo 3

Para obter f''(x), escrevemos f'(x)=(1-sin(x))e^u(x) e aplicamos a regra do produto:
f''(x) = l(1-sin(x)r)'e^u(x) + (1-sin(x))l(e^u(x)r)'
Calculando as derivadas:
l(1-sin(x)r)' = -cos(x), l(e^u(x)r)' = u'(x)e^u(x) = (1-sin(x))e^u(x)
Substituindo,
f''(x) = -cos(x),e^u(x) + (1-sin(x))^2e^u(x) = l[(1-sin(x))^2 - cos(x)r]e^cos(x)+x

Resposta

f'(x) = (1-sin(x))e^cos(x)+x,
f''(x) = l[(1-sin(x))^2 - cos(x)r]e^cos(x)+x

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