Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
a) Cúbica de base centrada (rede cúbica simples com pontos adicionais nos centros das faces horizontais da célula cúbica).

Passo 1

O enunciado (caso a) dá uma rede construída a partir de uma célula cúbica de aresta a com pontos nos vértices (rede cúbica simples) e com pontos adicionais nos centros das faces horizontais da célula (ou seja, centros das duas faces paralelas ao plano xy).
O que se pede: indicar se essa estrutura é uma rede de Bravais. Se for, fornecer três vetores primitivos; se não for, descrevê-la como uma rede de Bravais com a menor base possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Célula convencional: cubo de aresta a.
  • Pontos na rede:
    • Todos os vértices do cubo: posições (0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), \dots (translações inteiras de a nas direções principais).
    • Pontos adicionais nos centros das faces horizontais: por exemplo, \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right) e \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},a\right) (note que o ponto em z=a é equivalente ao de z=0 de uma célula vizinha).
  • Observação implícita: não há centros das faces verticais (faces perpendiculares a x ou y).

Passo 2

O que significa “é uma rede de Bravais”? Vou explicar de forma direta e prática (sem jargões excessivos): uma rede de Bravais é um conjunto de pontos que pode ser obtido por todas as combinações inteiras de três vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3. Em outras palavras, existe um conjunto de vetores tais que qualquer ponto da rede é
\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3,
com n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}. Se isso for possível com um único conjunto de vetores (sem precisar adicionar uma “base” de vários pontos numa célula primitiva), então a estrutura é uma rede de Bravais. Se for necessário ter múltiplos pontos inequivalentes por célula primitiva, então não é uma rede de Bravais e descreve-se como uma rede de Bravais simples mais uma base.

Passo 3

Escrevendo explicitamente algumas posições da estrutura (usando a célula cúbica convencional de aresta a):
  • Vértices: qualquer combinação (x,y,z) com x,y,z\in\{0,a\} (com identificação periódica entre células).
  • Centro da face horizontal inferior: \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right).
  • Centro da face horizontal superior: \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},a\right), que é equivalente ao ponto \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right) de uma célula vizinha traduzida por (0,0,a).
Contagem por célula convencional: os 8 vértices contribuem consoante compartilhamento total 1 ponto por célula ( 8\times\tfrac{1}{8}=1), e os dois centros de faces horizontais contribuem 2\times\tfrac{1}{2}=1 ponto por célula. Logo, há 2 pontos da rede por célula cúbica convencional. Isso sugere que existe uma célula primitiva com volume \tfrac{a^3}{2} contendo 1 ponto de rede — característica típica de uma rede que pode ser descrita por vetores primitivos (ou seja, pode ser rede de Bravais).

Passo 4

Vamos tentar encontrar três vetores primitivos que gerem exatamente todos os pontos descritos. Uma escolha natural, considerando que os pontos extras ficam no plano z=0 (e repetem a cada a em z), é escolher dois vetores no plano xy que gerem tanto os vértices quanto o ponto \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right), e o terceiro vetor ao longo de z.
Proposta de vetores:
\mathbf{a}_1=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right),\qquad \mathbf{a}_2=\left(\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2},0\right),\qquad \mathbf{a}_3=(0,0,a).
Explico por que eles funcionam.

Passo 5

Mostrar que com esses vetores obtemos os pontos desejados. Qualquer ponto da rede gerado pelos vetores propostos tem coordenadas
\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3
ou seja, em componentes
\mathbf{R}=\Big(\tfrac{a}{2}(n_1+n_2),\\ \tfrac{a}{2}(n_1-n_2),\\ n_3 a\Big).
Vejamos casos importantes:
  • Para os vértices do cubo, por exemplo (0,0,0): escolher n_1=n_2=n_3=0 (0,0,0). Para (a,0,0): n_1=n_2=1, n_3=0 \big(\tfrac{a}{2}(1+1),\tfrac{a}{2}(1-1),0\big)=(a,0,0). De forma geral, quaisquer vértices (m a, n a, p a) com m,n,p\in\mathbb{Z} podem ser obtidos por escolhas adequadas de n_1,n_2,n_3 (resolver as duas equações inteiras para n_1,n_2 é sempre possível).
  • Para o centro de face \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right): escolha n_1=1,n_2=0,n_3=0 e obtemos exatamente esse ponto.
  • O ponto \left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},a\right) aparece quando n_1=1,n_2=0,n_3=1, que é consistente (é o mesmo tipo de ponto traduzido por a em z).
Portanto todos os vértices e todos os centros das faces horizontais são gerados por combinações inteiras dos \mathbf{a}_i acima; não é necessário acrescentar uma base com vários pontos distintos na célula primitiva.

Passo 6

Verificação do volume da célula primitiva e da contagem de pontos: o volume da célula primitiva dada por \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 é
V=|\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)|.
Calculemos (fazendo a conta direta com as componentes):
V = \left|\det\begin{pmatrix} \tfrac{a}{2} & \tfrac{a}{2} & 0\\[4pt] \tfrac{a}{2} & -\tfrac{a}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & a \end{pmatrix}\right| = \left|a\cdot\det\begin{pmatrix}\tfrac{a}{2} & \tfrac{a}{2}\\[2pt]\tfrac{a}{2} & -\tfrac{a}{2}\end{pmatrix}\right| = \left|a\cdot\left(-\tfrac{a^2}{4}-\tfrac{a^2}{4}\right)\right| = \frac{a^3}{2}.
Como já vimos, a célula cúbica convencional contém 2 pontos de rede, logo cada célula primitiva deve ter volume a^3/2. Isso bate com o V calculado, confirmando que a célula definida por \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 é de fato primitiva (contém um único ponto de rede) e gera toda a estrutura.]

Passo 7

Interpretação geométrica e classificação: os vetores \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2 estão no plano xy, têm o mesmo comprimento |\mathbf{a}_1|=|\mathbf{a}_2|=a/\sqrt{2} e são ortogonais entre si ( \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2=0). O terceiro vetor \mathbf{a}_3 é perpendicular a esse plano, com comprimento a. Assim a rede encontrada é uma rede tetragonal primitiva (celular primitiva tetragonal) com parâmetros de rede equivalentes a'=\tfrac{a}{\sqrt{2}} no plano basal e c=a no eixo vertical. Em particular, a estrutura dada é uma rede de Bravais (não é necessário adicionar base).

Resposta

É uma rede de Bravais. Vetores primitivos:
\mathbf{a}_1=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right)
\mathbf{a}_2=\left(\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2},0\right)
\mathbf{a}_3=(0,0,a)

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