Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
c) Cúbica de aresta centrada (rede cúbica simples com pontos adicionais nos pontos médios da linha ligando os vizinhos mais próximos).
c) Cúbica de aresta centrada (rede cúbica simples com pontos adicionais nos pontos médios da linha ligando os vizinhos mais próximos).
Passo 1
O enunciado dá uma estrutura chamada “cúbica de aresta centrada”, descrita como “rede cúbica simples com pontos adicionais nos pontos médios da linha ligando os vizinhos mais próximos”. A pergunta é: essa estrutura é uma rede de Bravais?
- Se for rede de Bravais: dar três vetores primitivos.
- Se não for: descrever a estrutura como uma rede de Bravais mais uma base contendo o menor número possível de pontos.
Informações relevantes fornecidas (peguei tudo do enunciado):
- Existe a rede cúbica simples padrão (vértices de cubos de aresta
). - Há pontos adicionais localizados nos centros das arestas de cada cubo (ou seja, pontos nos pontos médios das arestas).
Passo 2
O que significa “rede de Bravais” (para eu te lembrar sem formalismo seco): uma rede de Bravais é um conjunto de pontos tal que todos os pontos têm exatamente o mesmo ambiente local — existe um conjunto de três vetores primitivos
tal que o conjunto de todas as posições da rede é
Em outras palavras: por tradução por qualquer vetor da rede, um ponto se transforma em outro ponto da rede; não há distinção “tipo A” e “tipo B” de pontos. Se houver dois tipos de pontos inequivalentes por tradução, então não é uma rede de Bravais pura — aí descrevemos a estrutura como uma rede de Bravais mais uma base (vários pontos por célula de rede).
Passo 3
Vou comparar o ambiente local de um vértice (canto) do cubo com o ambiente local de um ponto médio de aresta, para ver se são equivalentes (teste prático e simples).
Escolho a coordenada do cubo com aresta
e trabalho em unidades de
para simplificar (ou seja, tomo
nas coordenadas, e depois posso recolocar
quando quiser). Então alguns pontos são:
- canto:
. - centros de aresta ligados ao canto:
, , .
Agora conto os vizinhos mais próximos (distâncias) de cada tipo.
Para o canto
:
- Existem três centros de aresta a distância
: , , . Logo o canto tem exatamente três vizinhos a distância .
Para um centro de aresta, por exemplo
:
- Tem dois vértices a distância
: e . Portanto este ponto tem apenas dois vizinhos a distância .
Os ambientes locais são diferentes: o canto tem três vizinhos a distância
enquanto o centro de aresta tem dois. Como numa rede de Bravais todo ponto tem o mesmo ambiente local, essa diferença já mostra que a estrutura não é uma rede de Bravais.
(Resumindo: há pelo menos dois tipos inequivalentes de pontos — cantos e centros de aresta — logo não há um único conjunto de vetores primitivos que gere todos os pontos por simples translação.)
Passo 4
Conclusão imediata: a “cúbica de aresta centrada” NÃO é uma rede de Bravais.
Agora preciso descrever essa estrutura como “uma rede de Bravais + base” com o menor número de pontos possível. Vou achar uma rede de Bravais simples que, ao adicionar uma base (conjunto de posições dentro da célula), gere exatamente todos os pontos (vértices + centros de aresta).
Passo 5
Contagem de pontos por célula cúbica convencional (útil para escolher a base mínima):
- Em uma célula cúbica convencional de aresta
, os 8 vértices contribuem com ponto por célula. - Há 12 arestas; cada centro de aresta é compartilhado por 4 células (cada aresta pertence a 4 células cúbicas convencionais), então contribuem com
pontos por célula. - Total:
pontos por célula cúbica convencional.
Isso é importante: qualquer descrição usando uma rede de Bravais com uma base terá que reproduzir essa densidade. Se eu escolher como rede de Bravais a rede cúbica simples (que tem 1 ponto de rede por célula convencional), a base precisa conter 4 pontos para totalizar 4 posições por célula convencional. Pode haver outras escolhas de rede de Bravais (por exemplo uma rede com célula primitiva menor), mas a construção mais direta e com base mínima evidente é a cúbica simples com base de 4 pontos. Vou argumentar que 4 é de fato o menor número possível de pontos na base para uma rede de Bravais que use a célula cúbica convencional: como contamos 4 pontos por célula convencional, se a rede de Bravais escolhida tem exatamente 1 ponto por célula convencional (caso da cúbica simples), precisamos de 4 na base; escolher outra rede de Bravais com célula convencional menor geralmente leva a uma base de tamanho não menor na prática — a representação simples e mínima é típica ensinar: cúbica simples + base de 4 pontos é a forma natural e mínima.
Passo 6
Vou apresentar explicitamente a descrição como “rede de Bravais (cúbica simples) + base de 4 pontos” e mostrar que gera exatamente os vértices e os centros de aresta.
Escolho como vetores primitivos da rede de Bravais (cúbica simples, aresta
):
Esses três vetores geram todas as translações inteiras da rede cúbica simples.
Agora escolho a base (posições dentro da célula) em coordenadas fracionárias (unidades de
):
Explicação rápida do porquê:
gera todos os vértices (corners) pela tradução por combinações inteiras de
. As outras três posições são os três tipos de centros de aresta que partem do canto
em cada direção; ao translacionar esses três pontos pela rede cúbica simples obtém-se todos os centros de aresta do cristal.
Posso demonstrar um exemplo de geração: traduzindo
por
obtemos
que, reduzido modulo a célula, é o centro da aresta que liga
a
. Assim todas as arestas da direção
são cobertas; o mesmo vale para
e
para as outras direções. Portanto a união das translações da base sobre a rede cúbica simples reproduz exatamente os vértices e os centros de aresta.
Passo 7
Resumo didático (como decorar para a prova):
- Se você vê “pontos nos vértices + pontos no meio das arestas” — pense logo: há dois tipos de pontos (vértices e meios de aresta) com ambientes locais diferentes → não é Bravais.
- A descrição mais direta é: rede de Bravais = cúbica simples; base = 4 pontos dentro da célula: um canto e os três centros de aresta que saem daquele canto. Isso gera toda a estrutura por translação.
Resposta
Não — não é uma rede de Bravais.
Rede de Bravais escolhida: cúbica simples com vetores primitivos
Base (quatro pontos, em unidades de
):