Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
c) Cúbica de aresta centrada (rede cúbica simples com pontos adicionais nos pontos médios da linha ligando os vizinhos mais próximos).

Passo 1

O enunciado dá uma estrutura chamada “cúbica de aresta centrada”, descrita como “rede cúbica simples com pontos adicionais nos pontos médios da linha ligando os vizinhos mais próximos”. A pergunta é: essa estrutura é uma rede de Bravais?
  • Se for rede de Bravais: dar três vetores primitivos.
  • Se não for: descrever a estrutura como uma rede de Bravais mais uma base contendo o menor número possível de pontos.
Informações relevantes fornecidas (peguei tudo do enunciado):
  • Existe a rede cúbica simples padrão (vértices de cubos de aresta a).
  • Há pontos adicionais localizados nos centros das arestas de cada cubo (ou seja, pontos nos pontos médios das arestas).

Passo 2

O que significa “rede de Bravais” (para eu te lembrar sem formalismo seco): uma rede de Bravais é um conjunto de pontos tal que todos os pontos têm exatamente o mesmo ambiente local — existe um conjunto de três vetores primitivos \{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\} tal que o conjunto de todas as posições da rede é
\{\mathbf{R} = n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3 \mid n_i\in\mathbb{Z}\}.
Em outras palavras: por tradução por qualquer vetor da rede, um ponto se transforma em outro ponto da rede; não há distinção “tipo A” e “tipo B” de pontos. Se houver dois tipos de pontos inequivalentes por tradução, então não é uma rede de Bravais pura — aí descrevemos a estrutura como uma rede de Bravais mais uma base (vários pontos por célula de rede).

Passo 3

Vou comparar o ambiente local de um vértice (canto) do cubo com o ambiente local de um ponto médio de aresta, para ver se são equivalentes (teste prático e simples).
Escolho a coordenada do cubo com aresta a e trabalho em unidades de a para simplificar (ou seja, tomo a=1 nas coordenadas, e depois posso recolocar a quando quiser). Então alguns pontos são:
  • canto: (0,0,0).
  • centros de aresta ligados ao canto: (\tfrac{1}{2},0,0), (0,\tfrac{1}{2},0), (0,0,\tfrac{1}{2}).
Agora conto os vizinhos mais próximos (distâncias) de cada tipo.
Para o canto (0,0,0):
  • Existem três centros de aresta a distância \tfrac{1}{2}: (\tfrac{1}{2},0,0), (0,\tfrac{1}{2},0), (0,0,\tfrac{1}{2}). Logo o canto tem exatamente três vizinhos a distância \tfrac{1}{2}.
Para um centro de aresta, por exemplo (\tfrac{1}{2},0,0):
  • Tem dois vértices a distância \tfrac{1}{2}: (0,0,0) e (1,0,0). Portanto este ponto tem apenas dois vizinhos a distância \tfrac{1}{2}.
Os ambientes locais são diferentes: o canto tem três vizinhos a distância \tfrac{1}{2} enquanto o centro de aresta tem dois. Como numa rede de Bravais todo ponto tem o mesmo ambiente local, essa diferença já mostra que a estrutura não é uma rede de Bravais.
(Resumindo: há pelo menos dois tipos inequivalentes de pontos — cantos e centros de aresta — logo não há um único conjunto de vetores primitivos que gere todos os pontos por simples translação.)

Passo 4

Conclusão imediata: a “cúbica de aresta centrada” NÃO é uma rede de Bravais.
Agora preciso descrever essa estrutura como “uma rede de Bravais + base” com o menor número de pontos possível. Vou achar uma rede de Bravais simples que, ao adicionar uma base (conjunto de posições dentro da célula), gere exatamente todos os pontos (vértices + centros de aresta).

Passo 5

Contagem de pontos por célula cúbica convencional (útil para escolher a base mínima):
  • Em uma célula cúbica convencional de aresta a, os 8 vértices contribuem com 8\times\tfrac{1}{8}=1 ponto por célula.
  • Há 12 arestas; cada centro de aresta é compartilhado por 4 células (cada aresta pertence a 4 células cúbicas convencionais), então contribuem com 12\times\tfrac{1}{4}=3 pontos por célula.
  • Total: 1+3=4 pontos por célula cúbica convencional.
Isso é importante: qualquer descrição usando uma rede de Bravais com uma base terá que reproduzir essa densidade. Se eu escolher como rede de Bravais a rede cúbica simples (que tem 1 ponto de rede por célula convencional), a base precisa conter 4 pontos para totalizar 4 posições por célula convencional. Pode haver outras escolhas de rede de Bravais (por exemplo uma rede com célula primitiva menor), mas a construção mais direta e com base mínima evidente é a cúbica simples com base de 4 pontos. Vou argumentar que 4 é de fato o menor número possível de pontos na base para uma rede de Bravais que use a célula cúbica convencional: como contamos 4 pontos por célula convencional, se a rede de Bravais escolhida tem exatamente 1 ponto por célula convencional (caso da cúbica simples), precisamos de 4 na base; escolher outra rede de Bravais com célula convencional menor geralmente leva a uma base de tamanho não menor na prática — a representação simples e mínima é típica ensinar: cúbica simples + base de 4 pontos é a forma natural e mínima.

Passo 6

Vou apresentar explicitamente a descrição como “rede de Bravais (cúbica simples) + base de 4 pontos” e mostrar que gera exatamente os vértices e os centros de aresta.
Escolho como vetores primitivos da rede de Bravais (cúbica simples, aresta a):
\mathbf{a}_1 = a\,(1,0,0),\qquad \mathbf{a}_2 = a\,(0,1,0),\qquad \mathbf{a}_3 = a\,(0,0,1).
Esses três vetores geram todas as translações inteiras da rede cúbica simples.
Agora escolho a base (posições dentro da célula) em coordenadas fracionárias (unidades de a):
\mathbf{r}_1 = (0,0,0),\qquad \mathbf{r}_2 = \Big(\tfrac{1}{2},0,0\Big),\qquad \mathbf{r}_3 = \Big(0,\tfrac{1}{2},0\Big),\qquad \mathbf{r}_4 = \Big(0,0,\tfrac{1}{2}\Big).
Explicação rápida do porquê: \mathbf{r}_1 gera todos os vértices (corners) pela tradução por combinações inteiras de \mathbf{a}_i. As outras três posições são os três tipos de centros de aresta que partem do canto (0,0,0) em cada direção; ao translacionar esses três pontos pela rede cúbica simples obtém-se todos os centros de aresta do cristal.
Posso demonstrar um exemplo de geração: traduzindo \mathbf{r}_2=(\tfrac{1}{2},0,0) por \mathbf{a}_2 = (0,1,0) obtemos (\tfrac{1}{2},1,0) que, reduzido modulo a célula, é o centro da aresta que liga (0,1,0) a (1,1,0). Assim todas as arestas da direção x são cobertas; o mesmo vale para \mathbf{r}_3 e \mathbf{r}_4 para as outras direções. Portanto a união das translações da base sobre a rede cúbica simples reproduz exatamente os vértices e os centros de aresta.

Passo 7

Resumo didático (como decorar para a prova):
  • Se você vê “pontos nos vértices + pontos no meio das arestas” — pense logo: há dois tipos de pontos (vértices e meios de aresta) com ambientes locais diferentes → não é Bravais.
  • A descrição mais direta é: rede de Bravais = cúbica simples; base = 4 pontos dentro da célula: um canto e os três centros de aresta que saem daquele canto. Isso gera toda a estrutura por translação.

Resposta

Não — não é uma rede de Bravais.
Rede de Bravais escolhida: cúbica simples com vetores primitivos
\mathbf{a}_1 = a\,(1,0,0),\qquad \mathbf{a}_2 = a\,(0,1,0),\qquad \mathbf{a}_3 = a\,(0,0,1).
Base (quatro pontos, em unidades de a):
\mathbf{r}_1 = (0,0,0),\qquad \mathbf{r}_2 = \Big(\tfrac{1}{2},0,0\Big),\qquad \mathbf{r}_3 = \Big(0,\tfrac{1}{2},0\Big),\qquad \mathbf{r}_4 = \Big(0,0,\tfrac{1}{2}\Big).

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