Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
b) Cúbica de lado centrado (rede cúbica simples com pontos adicionais nos centros das faces verticais da célula cúbica).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado deu e o que pede. A estrutura é descrita como “cúbica de lado centrado”: isto é, comece com a rede cúbica simples de parâmetro de rede a (pontos nos vértices de cada célula cúbica) e adicione pontos nos centros das faces verticais da célula cúbica. Tomando a célula cúbica convencional com um vértice na origem e aresta de comprimento a, os pontos relevantes dentro de uma célula (coordenadas em unidades de a) são:
  • Pontos da rede cúbica simples (vértices), por exemplo \bigl(0,0,0\bigr) (os outros vértices são equivalentes por translação).
  • Centros das faces verticais (peguei essas posições a partir da descrição):
    • faces com normal em x: \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr) e \bigl(1,\tfrac12,\tfrac12\bigr) (equivalente a \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr) modulo translação da rede),
    • faces com normal em y: \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr) e \bigl(\tfrac12,1,\tfrac12\bigr) (equivalente a \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr)).
      O que se pede: decidir se essa disposição é uma rede de Bravais. Se for, dar três vetores primitivos; se não for, descrever a estrutura como uma rede de Bravais (escolher uma rede de transmissão) com a menor base possível.

Passo 2

Relembrando, de forma didática: uma rede de Bravais é um conjunto de pontos tal que para qualquer ponto P existe um conjunto de vetores de translação \{\mathbf{R}\} (a rede) que leva P a todo ponto equivalente; em particular todos os pontos têm entorno idêntico. Em termos práticos, para a estrutura ser Bravais basta que exista um vetor de translação que leve qualquer ponto da estrutura a qualquer outro, preservando toda a estrutura. Se existir mais de um tipo de posição (não relacionadas por translação pura) a estrutura não é Bravais e então descrevemos como uma rede de Bravais (uma trama de translações) mais uma base (uma lista de posições dentro da célula).

Passo 3

Testar se cantos e centros de face são equivalentes por translação (teste rápido). Tentar o vetor \mathbf{d}=\bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr)a que leva o vértice \bigl(0,0,0\bigr) ao centro de face \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr). Se a rede fosse Bravais, essa translação deveria mapear qualquer ponto da rede em outro ponto da rede. Aplicando \mathbf{d} a outro centro de face, por exemplo ao centro da face com normal em y, \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr), obtemos
\bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr)a + \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr)a = \bigl(\tfrac12,\tfrac12,1\bigr)a.
Reduzindo módulo a rede (subtraindo 1 na coordenada z) isso equivale a \bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr)a, que é o centro da face horizontal (face perpendicular a z). Mas o enunciado explicitamente NÃO inclui centros das faces horizontais (essas faces não estão centradas na descrição). Logo a translação que leva vértice a centro de face não preserva a lista de pontos que temos: ela envia um ponto existente para uma posição que não está incluída na estrutura dada. Isso significa que vértices e centros de face não são equivalentes por translação pura; portanto a estrutura NÃO é uma rede de Bravais.

Passo 4

Então precisamos descrever a estrutura como uma rede de Bravais (escolha da rede de translações) mais uma base com o menor número possível de pontos. A escolha natural e simples é tomar a rede de Bravais como a cúbica simples (célula convencional), com vetores primitivos
\mathbf{a}_1 = \bigl(a,0,0\bigr),\qquad \mathbf{a}_2 = \bigl(0,a,0\bigr),\qquad \mathbf{a}_3 = \bigl(0,0,a\bigr).
Agora escolhemos uma base (conjunto mínimo de pontos dentro da célula) tal que, ao somar todas as translações \mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3 e as posições da base, geramos exatamente os vértices e os centros das faces verticais, e nada mais.
Uma base que reproduz precisamente a descrição do enunciado é composta por três pontos (coordenadas em unidades de a):
\text{base:}\quad \bigl(0,0,0\bigr),\quad \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr),\quad \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr).
Explicando por que isso funciona:
  • \mathbf{R}+(0,0,0) gera todos os vértices da cúbica simples.
  • \mathbf{R}+\bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr) gera os centros das faces com normal em x (coordenada x inteira, y,z meio-inteiros).
  • \mathbf{R}+\bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr) gera os centros das faces com normal em y (coordenada y inteira, x,z meio-inteiros).
    Não aparecem centros das faces horizontais (perpendiculares a z), porque \bigl(\tfrac12,\tfrac12,0\bigr) não faz parte da base — exatamente o que o enunciado pede.

Passo 5

Argumento de minimalidade (por que três pontos na base é o menor número possível):
  • Uma base com 1 ponto corresponderia a uma rede de Bravais pura — já descartada no Passo 3.
  • Para ver que 2 pontos não bastam, observe que dentro da célula cúbica há três classes de posições fracamente distintas modulo translação pela rede: \bigl(0,0,0\bigr), \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr) e \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr). Essas três posições não são equivalentes entre si por translações da rede cúbica simples (as diferenças entre elas não são vetores-lattice inteiros). Portanto qualquer base que reproduza todas as posições deve conter pelo menos essas três posições. Assim três é mínimo.

Resposta

Não é uma rede de Bravais.
Pode ser descrita como rede cúbica simples com vetores primitivos
\mathbf{a}_1 = \bigl(a,0,0\bigr),\\ \mathbf{a}_2 = \bigl(0,a,0\bigr),\\ \mathbf{a}_3 = \bigl(0,0,a\bigr)
e base mínima de três pontos (coordenadas em unidades de a):
\bigl(0,0,0\bigr),\quad \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr),\quad \bigl(\tfrac12,0,\tfrac12\bigr).

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