Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
b) Cúbica de lado centrado (rede cúbica simples com pontos adicionais nos centros das faces verticais da célula cúbica).
b) Cúbica de lado centrado (rede cúbica simples com pontos adicionais nos centros das faces verticais da célula cúbica).
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado deu e o que pede. A estrutura é descrita como “cúbica de lado centrado”: isto é, comece com a rede cúbica simples de parâmetro de rede
(pontos nos vértices de cada célula cúbica) e adicione pontos nos centros das faces verticais da célula cúbica. Tomando a célula cúbica convencional com um vértice na origem e aresta de comprimento
, os pontos relevantes dentro de uma célula (coordenadas em unidades de
) são:
- Pontos da rede cúbica simples (vértices), por exemplo
(os outros vértices são equivalentes por translação). - Centros das faces verticais (peguei essas posições a partir da descrição):
- faces com normal em
: e (equivalente a modulo translação da rede), - faces com normal em
: e (equivalente a ).
O que se pede: decidir se essa disposição é uma rede de Bravais. Se for, dar três vetores primitivos; se não for, descrever a estrutura como uma rede de Bravais (escolher uma rede de transmissão) com a menor base possível.
- faces com normal em
Passo 2
Relembrando, de forma didática: uma rede de Bravais é um conjunto de pontos tal que para qualquer ponto
existe um conjunto de vetores de translação
(a rede) que leva
a todo ponto equivalente; em particular todos os pontos têm entorno idêntico. Em termos práticos, para a estrutura ser Bravais basta que exista um vetor de translação que leve qualquer ponto da estrutura a qualquer outro, preservando toda a estrutura. Se existir mais de um tipo de posição (não relacionadas por translação pura) a estrutura não é Bravais e então descrevemos como uma rede de Bravais (uma trama de translações) mais uma base (uma lista de posições dentro da célula).
Passo 3
Testar se cantos e centros de face são equivalentes por translação (teste rápido). Tentar o vetor
que leva o vértice
ao centro de face
. Se a rede fosse Bravais, essa translação deveria mapear qualquer ponto da rede em outro ponto da rede. Aplicando
a outro centro de face, por exemplo ao centro da face com normal em
,
, obtemos
Reduzindo módulo a rede (subtraindo
na coordenada
) isso equivale a
, que é o centro da face horizontal (face perpendicular a
). Mas o enunciado explicitamente NÃO inclui centros das faces horizontais (essas faces não estão centradas na descrição). Logo a translação que leva vértice a centro de face não preserva a lista de pontos que temos: ela envia um ponto existente para uma posição que não está incluída na estrutura dada. Isso significa que vértices e centros de face não são equivalentes por translação pura; portanto a estrutura NÃO é uma rede de Bravais.
Passo 4
Então precisamos descrever a estrutura como uma rede de Bravais (escolha da rede de translações) mais uma base com o menor número possível de pontos. A escolha natural e simples é tomar a rede de Bravais como a cúbica simples (célula convencional), com vetores primitivos
Agora escolhemos uma base (conjunto mínimo de pontos dentro da célula) tal que, ao somar todas as translações
e as posições da base, geramos exatamente os vértices e os centros das faces verticais, e nada mais.
Uma base que reproduz precisamente a descrição do enunciado é composta por três pontos (coordenadas em unidades de
):
Explicando por que isso funciona:
-
gera todos os vértices da cúbica simples. -
gera os centros das faces com normal em (coordenada inteira, meio-inteiros). -
gera os centros das faces com normal em (coordenada inteira, meio-inteiros).
Não aparecem centros das faces horizontais (perpendiculares a), porque não faz parte da base — exatamente o que o enunciado pede.
Passo 5
Argumento de minimalidade (por que três pontos na base é o menor número possível):
- Uma base com 1 ponto corresponderia a uma rede de Bravais pura — já descartada no Passo 3.
- Para ver que 2 pontos não bastam, observe que dentro da célula cúbica há três classes de posições fracamente distintas modulo translação pela rede:
, e . Essas três posições não são equivalentes entre si por translações da rede cúbica simples (as diferenças entre elas não são vetores-lattice inteiros). Portanto qualquer base que reproduza todas as posições deve conter pelo menos essas três posições. Assim três é mínimo.
Resposta
Não é uma rede de Bravais.
Pode ser descrita como rede cúbica simples com vetores primitivos
e base mínima de três pontos (coordenadas em unidades de ):
Pode ser descrita como rede cúbica simples com vetores primitivos
e base mínima de três pontos (coordenadas em unidades de