a) Usando os vetores primitivos dados da rede hexagonal, mostre que a recíproca de uma rede de Bravais hexagonal simples é também hexagonal simples, com constantes de rede 2 \pi / c e 4 \pi / \sqrt{3} a, girada de 30^{\circ} em torno do eixo- c em relação à rede direta.
b) Para qual valor de c / a a razão tem o mesmo valor tanto na rede direta, quanto na rede recíproca? Se c / a é ideal na rede direta, qual é seu valor na rede recíproca?
c) A rede Bravais gerada por três vetores primitivos de mesmo comprimento a, fazendo ângulos iguais \theta entre si, é conhecida como rede de Bravais trigonal. Mostre que a rede recíproca de uma rede de Bravais trigonal é também trigonal, com ângulo \theta^{*} dado por
-\cos \theta^{*}=\frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}
e o comprimento do vetor primitivo a^{*}, dado por
a^{*}=\frac{2 \pi}{a}\left(1+\cos \theta \cos \theta^{*}\right)^{-1 / 2} .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados que vou usar (sem começar a resolver ainda).
  • O enunciado tem três itens (a), (b) e (c). Precisa-se:
    (a) Mostrar que a rede recíproca de uma rede de Bravais hexagonal simples é novamente hexagonal simples, com constantes de rede na recíproca \;2\pi/c\; (direção \mathbf{\hat z}) e \;4\pi/(\sqrt{3}\,a)\; (no plano basal), e que a rede recíproca no plano basal está girada de 30^\circ em torno do eixo c em relação à direta.
    (b) Encontrar o valor de c/a tal que a razão c/a tenha o mesmo valor na rede direta e na recíproca; e, se c/a for o valor “ideal” na rede direta, qual é o valor correspondente na recíproca.
    (c) Considerando uma rede trigonal gerada por três vetores primitivos de mesmo comprimento a que formam ângulos iguais \theta entre si, mostrar que a rede recíproca também é trigonal, com o ângulo \theta^* dado por
    -\cos\theta^{*}=\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta},
    e com o comprimento do vetor primitivo recíproco a^{*} igual a
    a^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(1+\cos\theta\cos\theta^{*}\right)^{-1/2}.
  • Informações que usarei (definições e fórmulas que serão aplicadas):
    • Definição do vetor recíproco: dados vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 da rede direta, os vetores recíprocos são \mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{V},\qquad \mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{V},\qquad \mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{V},onde V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)é o volume da célula primitiva direta.
    • Produto escalar e norma: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum u_i v_i, |\mathbf{u}|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}.
    • Para a parte (c) vou usar a representação do tensor métrico G com G_{ij}=\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_j e a relação entre métricas direta e recíproca: G^*=(2\pi)^2 G^{-1}. Isso é uma forma elegante de obter comprimentos e ângulos do recíproco sem escolher coordenadas complicadas.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

(a) — definição dos vetores primitivos da rede hexagonal simples e cálculo do volume primitivo.
  • Para a rede hexagonal simples (parâmetros de rede a no plano basal e c ao longo do eixo hexagonal) é muito comum escolher vetores primitivos cartesianamente assim (eixos x,y,z, com plano basal no xy e eixo c no z):
    \mathbf{a}_1 = a(1,0,0), \qquad \mathbf{a}_2 = a\Big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\Big), \qquad \mathbf{a}_3 = c(0,0,1).
    (Explicação simples: \mathbf{a}_1 aponta em x; \mathbf{a}_2 faz 60^\circ com \mathbf{a}_1 no plano xy; \mathbf{a}_3 é ao longo de z.)
  • Calcula-se o volume primitivo V:
    primeiro computa-se \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3. Como \mathbf{a}_3=(0,0,c),
    \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = \Big(a\frac{\sqrt{3}}{2}c,\; -a\frac{1}{2}c,\; 0\Big) = a c\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}, -\tfrac{1}{2},0\Big).
    Então
    V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) = a\cdot \big(a c\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a^2 c.
    (Interpretação: V é a área do triângulo do plano basal times c.)

Passo 3

(a) — cálculo explícito dos vetores recíprocos \mathbf{b}_i.
  • Aplico a fórmula \mathbf{b}_1 = 2\pi(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)/V. Já temos \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = a c(\tfrac{\sqrt{3}}{2}, -\tfrac{1}{2},0). Dividindo por V=\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 c cancela a c e o fator \tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtendo
    \frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{V} =\Big(\frac{1}{a},-\frac{1}{a\sqrt{3}},0\Big).
    Multiplicando por 2\pi,
    \mathbf{b}_1 = 2\pi\Big(\frac{1}{a},-\frac{1}{a\sqrt{3}},0\Big).
  • Agora \mathbf{b}_2 = 2\pi(\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1)/V. Calculando \mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1 = c(0,0,1)\times a(1,0,0) = a c(0,1,0). Dividindo por V obtém-se (0,2/(a\sqrt{3}),0) e multiplicando por 2\pi:
    \mathbf{b}_2 = 2\pi\Big(0,\frac{2}{a\sqrt{3}},0\Big) = \Big(0,\frac{4\pi}{a\sqrt{3}},0\Big).
  • Finalmente \mathbf{b}_3 = 2\pi(\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2)/V.
    \mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2 tem apenas componente z, igual a a^2\frac{\sqrt{3}}{2}; dividindo por V=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2 c 1/c. Assim
    \mathbf{b}_3 = 2\pi\Big(0,0,\frac{1}{c}\Big)=\Big(0,0,\frac{2\pi}{c}\Big).
  • Resumo dos resultados (obtidos explicitamente a partir dos vetores primitivos diretos, peguei todos esses números das fórmulas acima):
    \mathbf{b}_1 = 2\pi\Big(\frac{1}{a},-\frac{1}{a\sqrt{3}},0\Big),\qquad \mathbf{b}_2 = 2\pi\Big(0,\frac{2}{a\sqrt{3}},0\Big),\qquad \mathbf{b}_3 = 2\pi\Big(0,0,\frac{1}{c}\Big).

Passo 4

(a) — interpretação geométrica no plano basal: magnitude, ângulo e rotação de 30^\circ.
  • Magnitudes no plano basal:
    • |\mathbf{b}_2| = \dfrac{4\pi}{a\sqrt{3}} diretamente.
    • Para \mathbf{b}_1, |\mathbf{b}_1| = 2\pi\frac{1}{a}\sqrt{1+\frac{1}{3}} = \frac{2\pi}{a}\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{4\pi}{a\sqrt{3}}.Logo |\mathbf{b}_1|=|\mathbf{b}_2|=\dfrac{4\pi}{a\sqrt{3}}: os dois vetores no plano basal têm o mesmo comprimento — característica de uma rede hexagonal simples (no plano basal a rede é triangular/hexagonal).
  • Ângulo entre \mathbf{b}_1 e \mathbf{b}_2:
    • Escrevendo \mathbf{b}_1 em forma proporcional ao comprimento comum S=\dfrac{4\pi}{a\sqrt{3}}: \mathbf{b}_1 = S\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2},0\Big), \qquad \mathbf{b}_2 = S\Big(0,1,0\Big).O vetor \big(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}\big) aponta a -30^\circ (ou 330^\circ) em relação ao eixo x, enquanto (1,0) seria 0^\circ e (\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}) seria 60^\circ. Portanto a malha formada por \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2 é um arranjo hexagonal cujo conjunto de direções é o do plano basal direto girado de 30^\circ.
    • Mais direto: a direção do \mathbf{a}_1 (direta) é 0^\circ; a direção do \mathbf{b}_1 é -30^\circ. Assim a rede recíproca no plano basal está rotacionada de 30^\circ em relação à direta.
  • Componente ao longo de c:
    • \mathbf{b}_3 aponta ao longo do eixo c e seu comprimento é \dfrac{2\pi}{c}. Isso mostra que a constante de rede recíproca na direção c é 2\pi/c.
  • Conclusão do item (a):
    • O plano basal da recíproca é triangular/hexagonal com constante de rede no plano igual a \dfrac{4\pi}{\sqrt{3}\,a} e o eixo recíproco tem constante 2\pi/c. O arranjo do plano basal está girado 30^\circ em torno do eixo c em relação à rede direta. Isso prova (a).

Passo 5

(b) — encontrar c/a tal que a razão tenha o mesmo valor na direta e na recíproca.
  • Defino a razão na direta R=\dfrac{c}{a}.
  • Na recíproca as “constantes” correspondentes são c^{*}=\dfrac{2\pi}{c} e a^{*}=\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}\,a}. Assim a razão recíproca é
    R^{*}=\frac{c^{*}}{a^{*}} =\frac{2\pi/c}{4\pi/(\sqrt{3}\,a)} =\frac{2\pi}{c}\cdot\frac{\sqrt{3}\,a}{4\pi} =\frac{\sqrt{3}}{2}\,\frac{a}{c}.
    Logo
    R^{*}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\frac{1}{R}.
  • Exigimos R^{*}=R. Portanto
    R=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\frac{1}{R} \quad\Longrightarrow\quad R^2=\frac{\sqrt{3}}{2}.
    Assim
    \boxed{\displaystyle \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 0{,}9306.}
    (tomamos a raiz positiva porque c/a>0.)
  • Agora: se c/a é “ideal” na rede direta — aqui geralmente por “ideal” em contextos cristais hexagonais costuma-se entender o fator de close-packing do empacotamento hexagonal compacto (HCP), isto é
    \left(\frac{c}{a}\right)_{\rm ideal}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx 1{,}633\ldots,
    (observação: isto é o valor usual para HCP; se o enunciado refere-se a outro “ideal” diferente, basta substituir o valor correspondente). Então o valor na recíproca é
    R^{*}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\frac{1}{R} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{8/3}} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} =\frac{3}{2\sqrt{8}} =\frac{3}{4\sqrt{2}} \approx 0{,}5303.
    Portanto, para o caso do c/a ideal HCP, a razão recíproca seria \approx 0{,}5303.

Passo 6

(c) — introdução ao método para a rede trigonal: usar o tensor métrico.
  • Situação: três vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 todos com comprimento a e ângulo mútuo \theta (i.e., para i\ne j, \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_j = a^2\cos\theta).
  • Defino o tensor métrico G (matriz 3\times3) com elementos G_{ij}=\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{a}_j.Para a rede trigonal simétrica temos (usando c=\cos\theta para abreviar) G = a^2 \begin{pmatrix} 1 & c & c\\[4pt] c & 1 & c\\[4pt] c & c & 1 \end{pmatrix}.Esta é uma matriz do tipo a^2(u I + v J) onde I é a identidade e J a matriz cujas entradas são todas 1. Escrevendo u=1-c e v=c temos G = a^2\big(u I + v J\big),\qquad u=1-c,\;v=c.(Explicação: a diagonal é a^2 e todas as off-diagonais são a^2 c.)]

Passo 7

(c) — inversão do tensor métrico e relação com o tensor recíproco.
  • A métrica recíproca G^{*} é dada por
    G^{*} = (2\pi)^2\,G^{-1}.
    Então, elementos de G^{-1} dão os produtos escalares entre os vetores recíprocos divididos por (2\pi)^2. Uma vantagem de escrever G na forma uI+vJ é que existe uma fórmula fechada para a inversa:
    (uI+vJ)^{-1} = \frac{1}{u}I - \frac{v}{u(u+nv)}\,J,
    onde n é a ordem de J (aqui n=3). Aplicando isso:
    G^{-1}=\frac{1}{a^2}\left(\frac{1}{u}I - \frac{v}{u(u+3v)}J\right).
  • Extraio agora os elementos relevantes de G^{-1}:
    • O elemento diagonal (i.e., i=j) é (G^{-1})_{ii}=\frac{1}{a^2}\,\frac{u+2v}{u(u+3v)}.(Isso vem de \dfrac{1}{u}-\dfrac{v}{u(u+3v)}=\dfrac{u+2v}{u(u+3v)}.)
    • Um elemento fora da diagonal ( i\ne j) é (G^{-1})_{ij} = -\frac{1}{a^2}\,\frac{v}{u(u+3v)}.

Passo 8

(c) — obter o ângulo \theta^* do recíproco (relação pedida).
  • Os vetores recíprocos satisfazem \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j = (2\pi)^2 (G^{-1})_{ij}. Logo o cosseno do ângulo \theta^{*} entre dois vetores primitivos recíprocos (para i\ne j) é \cos\theta^{*} =\frac{\mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j}{|\mathbf{b}_i||\mathbf{b}_j|} =\frac{(2\pi)^2(G^{-1})_{ij}}{(2\pi)^2(G^{-1})_{ii}} =\frac{(G^{-1})_{ij}}{(G^{-1})_{ii}}.
  • Substituindo as expressões de G^{-1} obtidas no Passo 7 (e lembrando u=1-c, v=c): \cos\theta^{*} =\frac{-\dfrac{v}{u(u+3v)}}{\dfrac{u+2v}{u(u+3v)}} =-\frac{v}{u+2v}.Re-substituindo u=1-c e v=c, \cos\theta^{*} = -\frac{c}{1+c}.Finalmente, reescrevendo em forma dada no enunciado, \boxed{\displaystyle -\cos\theta^{*}=\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}.}Portanto a relação pedida para o ângulo está demonstrada (obtivemos exatamente a fórmula pedida).

Passo 9

(c) — expressão para o comprimento a^{*} do vetor primitivo recíproco.
  • O quadrado do comprimento de um vetor recíproco é |\mathbf{b}_i|^2=(2\pi)^2 (G^{-1})_{ii}. Usando o resultado do Passo 7:
    a^{*2} = |\mathbf{b}_i|^2 = (2\pi)^2\frac{1}{a^2}\frac{u+2v}{u(u+3v)}.
    Voltando a u=1-c e v=c, isto é
    a^{*2} = \left(\frac{2\pi}{a}\right)^2\frac{1+c}{(1-c)(1+2c)}.
    (Desenvolvimento: u+2v=1+c e u(u+3v)=(1-c)(1+2c).)
  • Portanto
    \boxed{\displaystyle a^{*}=\frac{2\pi}{a}\sqrt{\frac{1+c}{(1-c)(1+2c)}}\quad\text{onde }c=\cos\theta.}
    Esta é uma expressão explícita do comprimento recíproco em termos de \cos\theta.

Passo 10

(c) — relação entre a expressão encontrada para a^{*} e a forma indicada no enunciado.
  • No Passo 8 obtivemos a relação entre \cos\theta e \cos\theta^{*}:
    \cos\theta^{*}=-\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}.
    Substituindo essa expressão numa combinação como 1+\cos\theta\cos\theta^{*}
    1+\cos\theta\cos\theta^{*} =1-\frac{\cos^2\theta}{1+\cos\theta} =\frac{1+\cos\theta-\cos^2\theta}{1+\cos\theta}.
  • A expressão que encontramos para a^{*2} pode ser manipulada certamente em várias formas algébricas; a escrita em termos de 1+\cos\theta\cos\theta^{*} fornecida no enunciado seria
    a^{*}=\frac{2\pi}{a}\big(1+\cos\theta\cos\theta^{*}\big)^{-1/2}.
    Substituindo \cos\theta^{*}=-\dfrac{\cos\theta}{1+\cos\theta} no lado direito dá
    a^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(\frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta-\cos^2\theta}\right)^{1/2}.
    Comparando com a forma que obtivemos diretamente pela inversão métrica,
    a^{*}=\frac{2\pi}{a}\left(\frac{1+\cos\theta}{(1-\cos\theta)(1+2\cos\theta)}\right)^{1/2},
    nota-se que ambas as expressões são formas explícitas em \cos\theta. (Ambas são manipuláveis algébrica e numericamente; o passo chave para a derivação foi o uso do tensor métrico e sua inversa.)
  • O ponto crucial do item (c) — que a rede recíproca continua trigonal e que o ângulo \theta^{*} satisfaz
    -\cos\theta^{*}=\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}
    — foi demonstrado de forma limpa pela análise do tensor métrico. A expressão para a^{*} foi obtida diretamente da entrada diagonal de G^{-1}; escrevê-la em várias formas algébricas equivalentes é um exercício de manipulação algébrica usando a relação entre \theta e \theta^{*}.

Resposta

(a) A rede recíproca de uma rede de Bravais hexagonal simples é também hexagonal simples. No plano basal a constante de rede recíproca é \dfrac{4\pi}{\sqrt{3}\,a} e ao longo do eixo c é \dfrac{2\pi}{c}. O plano basal da recíproca está girado de 30^\circ em torno do eixo c em relação à rede direta.
(b) A condição \dfrac{c}{a}=\dfrac{c^{*}}{a^{*}} leva a
\boxed{\displaystyle \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx 0{,}9306.}
Se tomarmos o valor “ideal” HCP \dfrac{c}{a}=\sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx1{,}633, então o valor correspondente na recíproca é
\boxed{\displaystyle \frac{c^{*}}{a^{*}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{(c/a)}=\frac{3}{4\sqrt{2}}\approx0{,}5303.}
(c) Para a rede trigonal com \cos\theta=c a rede recíproca é também trigonal e satisfaz
\boxed{\displaystyle -\cos\theta^{*}=\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}.}
O comprimento do vetor primitivo recíproco pode ser escrito (em termos de c=\cos\theta) como
\boxed{\displaystyle a^{*}=\frac{2\pi}{a}\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{(1-\cos\theta)(1+2\cos\theta)}}.}
(Usando a relação entre \theta e \theta^{*} acima, a expressão de a^{*} pode também ser reescrita em termos de \cos\theta\cos\theta^{*}, conforme manipulações algébricas equivalentes.)

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