a) Mostre que o volume da célula primitiva é \left(3^{1 / 2} / 2\right) a^{2} c.
b) Mostre que os vetores de translação primitivos da rede recíproca são
\mathbf{b}_{1}=(2 \pi / \sqrt{3} a) \hat{x}+(2 \pi / a) \hat{y} \quad ; \quad \mathbf{b}_{2}=-(2 \pi / \sqrt{3} a) \hat{x}+(2 \pi / a) \hat{y} \quad ; \quad \mathbf{b}_{3}=(2 \pi / c) \hat{z},
e, portanto, a única diferença entre a rede cristalina e a rede recíproca é uma mudança de escala e uma rotação de eixos.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores de translação primitivos da rede hexagonal:
Pede-se:
(a) calcular o volume da célula primitiva, isto é o módulo do produto misto \mathbf{a}_{1}\cdot(\mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3});
(b) mostrar que os vetores primitivos da rede recíproca são
usando a definição padrão dos vetores recíprocos. Vou seguir passo a passo as fórmulas necessárias e calcular explicitamente cada produto vetorial e determinante.
Passo 2
Fórmula para o volume da célula primitiva: o volume V do paralelepípedo gerado pelos vetores \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 é o produto misto
V = c\cdot\frac{\sqrt{3}\,a^{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c.
Isso conclui a parte (a).
Passo 5
Para a parte (b) uso a definição dos vetores primitivos da rede recíproca. Dados vetores primitivos \mathbf{a}_i com volume V, os vetores recíprocos são definidos por
Finalmente calcule \mathbf{b}_{3}. Primeiro o produto vetorial \mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2}. Como os dois vetores estão no plano xy, o produto fica na direção \hat{z} e seu módulo é a área do paralelogramo das projeções no plano xy:
Comparando com \mathbf{a}_i, percebe-se que a rede recíproca tem a mesma geometria (mesma orientação / rotação dos vetores no plano xy e a direção z preservada), apenas escalada por fatores 2\pi/a e 2\pi/c. Isso estabelece que a diferença entre rede direta e recíproca é essencialmente uma mudança de escala (fatores 2\pi e 1/a,1/c) e uma rotação/definição dos eixos consistente com a simetria hexagonal.