Os vetores de translação primitivos da rede cristalina hexagonal podem ser
\mathbf{a}_{1}=(\sqrt{3} a / 2) \hat{x}+(a / 2) \hat{y} \quad ; \quad \mathbf{a}_{2}=-(\sqrt{3} a / 2) \hat{x}+(a / 2) \hat{y} \quad ; \quad \mathbf{a}_{3}=c \hat{z}
a) Mostre que o volume da célula primitiva é \left(3^{1 / 2} / 2\right) a^{2} c.
b) Mostre que os vetores de translação primitivos da rede recíproca são
\mathbf{b}_{1}=(2 \pi / \sqrt{3} a) \hat{x}+(2 \pi / a) \hat{y} \quad ; \quad \mathbf{b}_{2}=-(2 \pi / \sqrt{3} a) \hat{x}+(2 \pi / a) \hat{y} \quad ; \quad \mathbf{b}_{3}=(2 \pi / c) \hat{z},
e, portanto, a única diferença entre a rede cristalina e a rede recíproca é uma mudança de escala e uma rotação de eixos.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores de translação primitivos da rede hexagonal:
\mathbf{a}_{1}=\left(\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\right)\hat{x}+\left(\frac{a}{2}\right)\hat{y},\qquad \mathbf{a}_{2}=-\left(\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\right)\hat{x}+\left(\frac{a}{2}\right)\hat{y},\qquad \mathbf{a}_{3}=c\hat{z}.
Pede-se:
(a) calcular o volume da célula primitiva, isto é o módulo do produto misto \mathbf{a}_{1}\cdot(\mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3});
(b) mostrar que os vetores primitivos da rede recíproca são
\mathbf{b}_{1}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\hat{y},\qquad \mathbf{b}_{2}=-\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\hat{y},\qquad \mathbf{b}_{3}=\frac{2\pi}{c}\hat{z},
usando a definição padrão dos vetores recíprocos. Vou seguir passo a passo as fórmulas necessárias e calcular explicitamente cada produto vetorial e determinante.

Passo 2

Fórmula para o volume da célula primitiva: o volume V do paralelepípedo gerado pelos vetores \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 é o produto misto
V=\left|\mathbf{a}_{1}\cdot(\mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3})\right|.
Uma forma prática de calcular esse produto misto é usar o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
V=\left| \begin{matrix} a_{1x} & a_{1y} & a_{1z}\\[4pt] a_{2x} & a_{2y} & a_{2z}\\[4pt] a_{3x} & a_{3y} & a_{3z} \end{matrix} \right|.
Aqui, das componentes temos
a_{1x}=\frac{\sqrt{3}\,a}{2},\quad a_{1y}=\frac{a}{2},\quad a_{1z}=0,
a_{2x}=-\frac{\sqrt{3}\,a}{2},\quad a_{2y}=\frac{a}{2},\quad a_{2z}=0,
a_{3x}=0,\quad a_{3y}=0,\quad a_{3z}=c.]

Passo 3

Calcule o determinante usando as componentes acima. Substituindo na expressão do determinante:
V= \left| \begin{matrix} \frac{\sqrt{3}\,a}{2} & \frac{a}{2} & 0\\[4pt] -\frac{\sqrt{3}\,a}{2} & \frac{a}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{matrix} \right|.
Como a terceira coluna tem só o elemento c na última linha, o valor do determinante simplifica para
V = c\Big(\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\cdot\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\cdot\big(-\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\big)\Big).
Expliquei: isso vem da expansão por menores ao longo da terceira coluna; o determinante reduz ao termo a_{1x}a_{2y}-a_{1y}a_{2x} multiplicado por c.]

Passo 4

Agora calculo o que está entre parênteses:
\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\cdot\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\cdot\big(-\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\big) = \frac{\sqrt{3}\,a^{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}\,a^{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}\,a^{2}}{2}.
Portanto
V = c\cdot\frac{\sqrt{3}\,a^{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c.
Isso conclui a parte (a).

Passo 5

Para a parte (b) uso a definição dos vetores primitivos da rede recíproca. Dados vetores primitivos \mathbf{a}_i com volume V, os vetores recíprocos são definidos por
\mathbf{b}_{1}=2\pi\,\frac{\mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3}}{V},\qquad \mathbf{b}_{2}=2\pi\,\frac{\mathbf{a}_{3}\times\mathbf{a}_{1}}{V},\qquad \mathbf{b}_{3}=2\pi\,\frac{\mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2}}{V}.
Vou calcular \mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3}, \mathbf{a}_{3}\times\mathbf{a}_{1} e \mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2} explicitamente.

Passo 6

Calcule \mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3}. Como \mathbf{a}_{2}= (a_{2x},a_{2y},0) e \mathbf{a}_{3}=(0,0,c), vale a identidade vetorial
(a_x,a_y,0)\times(0,0,c)=c\,(a_y\,\hat{x}-a_x\,\hat{y}).
Aplicando a \mathbf{a}_{2} (onde a_{2x}=-\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2} e a_{2y}=\tfrac{a}{2}):
\mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3} = c\!\left(\frac{a}{2}\hat{x}-\big(-\frac{\sqrt{3}\,a}{2}\big)\hat{y}\right) = \frac{c a}{2}\,\hat{x}+\frac{\sqrt{3}\,c a}{2}\,\hat{y}.
Agora aplico a definição de \mathbf{b}_{1}:
\mathbf{b}_{1} =2\pi\,\frac{\mathbf{a}_{2}\times\mathbf{a}_{3}}{V} =2\pi\,\frac{\frac{c a}{2}\,\hat{x}+\frac{\sqrt{3}\,c a}{2}\,\hat{y}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c}.
Simplificando componente a componente (cancela c e fatores 1/2):
\text{componente }x:\quad 2\pi\frac{\frac{c a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}c} =2\pi\frac{1}{\sqrt{3}\,a}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a},
\text{componente }y:\quad 2\pi\frac{\frac{\sqrt{3}\,c a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}c} =2\pi\frac{1}{a}=\frac{2\pi}{a}.
Logo
\mathbf{b}_{1}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\,\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\,\hat{y}.

Passo 7

Calcule \mathbf{b}_{2} do mesmo modo. Primeiro
\mathbf{a}_{3}\times\mathbf{a}_{1}=c\,\big(-a_{1y}\hat{x}+a_{1x}\hat{y}\big)
porque (0,0,c)\times(a_{1x},a_{1y},0)=c(-a_{1y},a_{1x},0). Com a_{1x}=\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2} e a_{1y}=\tfrac{a}{2},
\mathbf{a}_{3}\times\mathbf{a}_{1}=-\frac{c a}{2}\,\hat{x}+\frac{\sqrt{3}\,c a}{2}\,\hat{y}.
Aplicando a fórmula
\mathbf{b}_{2}=2\pi\,\frac{\mathbf{a}_{3}\times\mathbf{a}_{1}}{V}
obtemos, simplificando exatamente como em \mathbf{b}_1,
\mathbf{b}_{2}=-\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\,\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\,\hat{y}.

Passo 8

Finalmente calcule \mathbf{b}_{3}. Primeiro o produto vetorial \mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2}. Como os dois vetores estão no plano xy, o produto fica na direção \hat{z} e seu módulo é a área do paralelogramo das projeções no plano xy:
\mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2}=(0,0,a_{1x}a_{2y}-a_{1y}a_{2x}).
Já calculamos esse determinante no Passo 4 e encontramos a_{1x}a_{2y}-a_{1y}a_{2x}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}. Assim
\mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\,\hat{z}.
Aplicando a definição,
\mathbf{b}_{3}=2\pi\,\frac{\mathbf{a}_{1}\times\mathbf{a}_{2}}{V} =2\pi\,\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\,\hat{z}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}c} =\frac{2\pi}{c}\,\hat{z}.

Passo 9

Resumo e interpretação: os vetores recíprocos calculados são
\mathbf{b}_{1}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\,\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\,\hat{y},\qquad \mathbf{b}_{2}=-\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\,\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\,\hat{y},\qquad \mathbf{b}_{3}=\frac{2\pi}{c}\,\hat{z}.
Comparando com \mathbf{a}_i, percebe-se que a rede recíproca tem a mesma geometria (mesma orientação / rotação dos vetores no plano xy e a direção z preservada), apenas escalada por fatores 2\pi/a e 2\pi/c. Isso estabelece que a diferença entre rede direta e recíproca é essencialmente uma mudança de escala (fatores 2\pi e 1/a,1/c) e uma rotação/definição dos eixos consistente com a simetria hexagonal.

Resposta

\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c
\displaystyle \mathbf{b}_{1}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\,\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\,\hat{y},\quad \mathbf{b}_{2}=-\frac{2\pi}{\sqrt{3}\,a}\,\hat{x}+\frac{2\pi}{a}\,\hat{y},\quad \mathbf{b}_{3}=\frac{2\pi}{c}\,\hat{z}

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