Para cada uma das seguintes coleções de vetores, determine quando o primeiro vetor é combinação linear dos vetores restantes:
(1,3,5,7),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1) in R^4

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
v1=(1,3,5,7), v2=(1,0,1,0), v3=(0,1,0,1) e v4=(0,0,1,1).
O objetivo é verificar se v1 está no span de v2, v3, v4, isto é, achar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha, v2+beta, v3+gamma, v4 ;=; v1

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica e igualamos componentes:
alpha(1,0,1,0);+;beta(0,1,0,1);+;gamma(0,0,1,1) ;=;(1,3,5,7)
Isso gera o sistema
alpha = 1, beta = 3, alpha + gamma = 5, beta + gamma = 7

Passo 3

Das duas primeiras equações já temos
alpha=1 e beta=3.

Passo 4

Substituindo em alpha+gamma=5
;1+gamma=5impliesgamma=4.
Verificação em beta+gamma=7:
;3+4=7, consistente.

Passo 5

Portanto existe solução única e são
alpha=1, beta=3, gamma=4.
Logo
(1,3,5,7) =1,(1,0,1,0)+3,(0,1,0,1)+4,(0,0,1,1)

Resposta

(1,3,5,7)=1,(1,0,1,0)+3,(0,1,0,1)+4,(0,0,1,1)

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