[3, pag 67-8)] Seja D o grupo dihedral definido como o conjunto de todos os símbolos da forma x^i y^j, i=0,1 e j=0,1,2, ldots, n-1, onde x^2=e, y^n=e e x y=y^-1 x. Demonstre
a) O subgrupo N=e, y, y^2, ldots, y^n-1 é normal em G.
b) G / N cong W, onde W=-1,1 é o grupo sob a multiplicação de números reais.

Passo 1

O enunciado define o grupo dihedral G de ordem 2n como
G = x^i y^j mid i=0,1, j=0,1,dots,n-1
com as relações
x^2 = e, y^n = e, x,y = y^-1x
Pede-se
a) mostrar que o subconjunto
N = e,,y,,y^2,,dots,,y^n-1
é um subgrupo normal de G,
b) provar que o quociente G/N é isomorfo a W=-1,1 sob multiplicação.
Usaremos conceitos de subgrupo, normalidade, homomorfismo e o primeiro teorema do isomorfismo.

Passo 2

Primeiro vemos que N é subgrupo de G. De fato, N=lang<= yrang<= e como y^n=e temos para quaisquer j,k
y^j y^k=y^j+k bmod nin N, (y^j)^-1=y^n-jin N,
além de e=y^0in N.
Agora verificamos normalidade: basta mostrar que g,y^j,g^-1in N para todo gin G. Como todo gin G é da forma y^k ou x,y^k, temos
  1. Se g=y^k, então
y^k,y^j,y^-k=y^jin N
  1. Se g=x,y^k, então g^-1=y^-kx (pois x^-1=x) e
g,y^j,g^-1 = x,y^k,y^j,y^-kx = x,y^j,x = y^-jin N,
usando x,y^j=x,y^j,x^-1=y^-j. Portanto Ntriang<=<=ft G.

Passo 3

Definimos o mapa
phi: Gto W, phi(x^i y^j)=(-1)^i
Mostramos que é homomorfismo. Tomemos
g=x^i y^j, h=x^k y^ell
Se k=0 então hin N e g,h tem parte x^i, logo
phi(g,h)=(-1)^i =(-1)^icdot1=phi(g),phi(h)
Se k=1 então h=x,y^ell e
g,h = x^i y^j x,y^ell
passa a ter coeficiente de x igual a i+1 módulo 2, daí
phi(g,h)=(-1)^i+1=(-1)^icdot(-1)=phi(g),phi(h)
Logo phi é homomorfismo de grupos.

Passo 4

Note que é sobrejetora em (pois atinge e ) e que
Pelo primeiro teorema do isomorfismo,

Resposta

a) N é normal em G.
b) G/Ncong W.

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