[3, pag 67-8)] Seja
o grupo dihedral definido como o conjunto de todos os símbolos da forma
e
, onde
e
. Demonstre
a) O subgrupo
é normal em
.
b)
, onde
é o grupo sob a multiplicação de números reais.
a) O subgrupo
b)
Passo 1
O enunciado define o grupo dihedral
de ordem
como
com as relações
Pede-se
a) mostrar que o subconjunto
a) mostrar que o subconjunto
é um subgrupo normal de
,
b) provar que o quociente é isomorfo a
sob multiplicação.
Usaremos conceitos de subgrupo, normalidade, homomorfismo e o primeiro teorema do isomorfismo.
b) provar que o quociente
Usaremos conceitos de subgrupo, normalidade, homomorfismo e o primeiro teorema do isomorfismo.
Passo 2
Primeiro vemos que
é subgrupo de
. De fato,
e como
temos para quaisquer
além de
.
Agora verificamos normalidade: basta mostrar que
para todo
. Como todo
é da forma
ou
, temos
- Se
, então
- Se
, então (pois ) e
usando
. Portanto
.
Passo 3
Definimos o mapa
Mostramos que é homomorfismo. Tomemos
Se
então
e
tem parte
, logo
Se
então
e
passa a ter coeficiente de
igual a
módulo 2, daí
Logo
é homomorfismo de grupos.
Passo 4
Note que
é sobrejetora em
(pois atinge
e
) e que
Pelo primeiro teorema do isomorfismo,
Resposta
a)
é normal em
.
b) .
b)