[3, pag 66-1)] Em cada item, verifique se as aplicações definidas são homomorfismos, e nos casos afirmativos, determinar seus núcleos.
G é o grupo abeliano qualquer, barG=G, phi(x)=x^5, forall x in G.

Passo 1

O enunciado pede para a aplicação
phicolon Gto G, phi(x)=x^5
verificar se é homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, encontrar seu núcleo.
Aqui vamos usar a definição de homomorfismo de grupos (preservar o produto) e a definição de núcleo
ker(phi)=xin Gmidphi(x)=e, onde e é o elemento neutro de G.

Passo 2

Verificação de homomorfismo: para todo x,yin G temos
phi(xy)=(xy)^5
Como G é abeliano, podemos expandir usando o teorema do binômio (ou simplesmente recolocar):
(xy)^5=x^5y^5
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phi(xy)=x^5y^5=phi(x),phi(y)

Passo 3

Como phi(xy)=phi(x),phi(y) para todos x,yin G, concluímos que phi é de fato um homomorfismo de grupos.

Passo 4

Determinação do núcleo. Por definição,
ker(phi)=,xin Gmid phi(x)=e, =,xin Gmid x^5=e,
Em outras palavras, ker(phi) é o subconjunto de todos os elementos de G cuja quinta potência é o elemento neutro.

Resposta

phi é homomorfismo e
ker(phi)=,xin Gmid x^5=e,

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