[3, pag 66-1)] Em cada item, verifique se as aplicações definidas são homomorfismos, e nos casos afirmativos, determinar seus núcleos.
é o grupo abeliano qualquer,
.
Passo 1
O enunciado pede para a aplicação
verificar se é homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, encontrar seu núcleo.
Aqui vamos usar a definição de homomorfismo de grupos (preservar o produto) e a definição de núcleo
, onde
é o elemento neutro de
.
Aqui vamos usar a definição de homomorfismo de grupos (preservar o produto) e a definição de núcleo
Passo 2
Verificação de homomorfismo: para todo
temos
Como
é abeliano, podemos expandir usando o teorema do binômio (ou simplesmente recolocar):
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Passo 3
Como
para todos
, concluímos que
é de fato um homomorfismo de grupos.
Passo 4
Determinação do núcleo. Por definição,
Em outras palavras,
é o subconjunto de todos os elementos de
cuja quinta potência é o elemento neutro.