Dê exemplos de matrizes A para as quais o número de soluções de A x=b é
(a) 0 ou 1 , dependendo de b.
(b) infty, independentemente de b.
(c) 0 ou infty, dependendo de b.
(d) 1, independentemente de b.

Passo 1

O exercício pede exemplos concretos de matrizes A de forma que o sistema
Ax=b
tenha, segundo o caso, exatamente (a) zero ou uma solução, (b) infinitas soluções sempre, (c) zero ou infinitas soluções, (d) exatamente uma solução sempre. Para isso usamos conceitos de posto (rank), dimensão do núcleo (nullidade) e imagem (coluna) de A.

Passo 2

Caso (a): “zero ou uma solução, dependendo de ”.
Escolhemos uma matriz “tall” (mais linhas que colunas) com posto igual ao número de colunas. Por exemplo
Aqui (igual ao número de incógnitas), logo e não há graus de liberdade: se está na coluna de , existe exatamente uma solução; se não está, não existe solução.

Passo 3

Caso (b): “infinitas soluções, independentemente de ”.
Escolhemos uma matriz “wide” (mais colunas que linhas) com posto igual ao número de linhas. Por exemplo
Aqui (igual ao número de equações), logo a imagem de é todo e o sistema é sempre compatível. Como , há um parâmetro livre, dando infinitas soluções para qualquer .

Passo 4

Caso (c): “zero ou infinitas soluções, dependendo de ”.
Basta uma matriz com posto estritamente menor do que número de linhas e de colunas. Por exemplo
Aqui , então e, sempre que estiver na coluna de , há infinitas soluções; se não estiver na coluna, o sistema é impossível.

Passo 5

Caso (d): “uma solução, independentemente de ”.
Escolhemos uma matriz quadrada invertível, por exemplo a identidade de ordem 2:
Aqui e , de modo que para todo existe exatamente uma solução .

Resposta

(a) A=1&00&11&1.
(b) A=1&0&00&1&0.
(c) A=1&0&00&1&00&0&0.
(d) A=1&00&1.

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