P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos F de funções reais, seja G o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de F ). Diga qual a dimensão de L(G) e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
F=1t,(t neq 0)

Passo 1

O enunciado diz que temos o conjunto
F=lf(t)=1t mid tneq 0r
e que G é o conjunto formado por todas as derivadas de todas as ordens de f (incluindo a ordem zero, i.e.\ a própria função). Precisamos encontrar a dimensão do espaço vetorial L(G) gerado por G e, se for finita, dar uma base.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas de
f(t)=1t:
f'(t)=-1t^2, f''(t)=21t^3, f^(3)(t)=-61t^4,;dots
Perceba o padrão: a cada derivada multiplicamos por - e elevamos a potência de t no denominador em mais 1, acumulando fatorial. Por indução chega-se a
f^(n)(t) =d^ndt^nl(1tr) =(-1)^n,n!;1t^,n+1

Passo 3

Logo
Em termos de espaço gerado, os sinais e fatoriais são só constantes; assim

Passo 4

Para ver a dimensão, note que as funções
t^-k ( k=1,2,3,dots) são linearmente independentes em tneq0. Se existisse uma combinação finita
sumk=1^N ak,t^-kequiv0 para todos tneq0, isso implicaria num polinômio nulo ao multiplicar por t^N, forçando todos os ak=0. Logo não há combinação não trivial.
Como há infinitos expoentes negativos, a dimensão de L(G) é infinita (contável). Uma base explícita é
l,t^-1,,t^-2,,t^-3,dotsr

Resposta

A dimensão de L(G) é infinita (contável).
Uma base é t^-1,,t^-2,,t^-3,dots.

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