P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos
de funções reais, seja
o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de
). Diga qual a dimensão de
e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
Passo 1
O enunciado diz que temos o conjunto
e que
é o conjunto formado por todas as derivadas de todas as ordens de
(incluindo a ordem zero, i.e.\ a própria função). Precisamos encontrar a dimensão do espaço vetorial
gerado por
e, se for finita, dar uma base.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas de
:
Perceba o padrão: a cada derivada multiplicamos por
e elevamos a potência de
no denominador em mais
, acumulando fatorial. Por indução chega-se a
Passo 3
Logo
Em termos de espaço gerado, os sinais e fatoriais são só constantes; assim
Passo 4
Para ver a dimensão, note que as funções
(
) são linearmente independentes em
. Se existisse uma combinação finita
para todos
, isso implicaria num polinômio nulo ao multiplicar por
, forçando todos os
. Logo não há combinação não trivial.
Como há infinitos expoentes negativos, a dimensão de
é infinita (contável). Uma base explícita é
Resposta
A dimensão de
é infinita (contável).
Uma base é .
Uma base é