P 6.4. Considere, no espaço linear real M2 times 2(R) das matrizes 2 times 2, o conjunto S=M1, M2, M3, M4, onde
M1=[ll 1 & 0 0 & 0 ], M2=[cc 1 & -1 1 & 0 ], M3=[cc 1 & 1 -1 & 0 ], M4=[ll 1 & 1 1 & 0 ]
a) Construa uma base de L(S), espaço gerado por S, e indique a respectiva dimensão.
b) Mostre que o conjunto W=M in L(S): m12=0 forma um subespaço de L(S) e determine uma base para W. Determine as coordenadas do vector M=[cc1 & 0 -1 & 0] nessa base.

Passo 1

O enunciado está em M2times2(R) e define o conjunto
S=M1,M2,M3,M4,
com
M1=1&00&0,; M2=1&-11&0,; M3=1&1-1&0,; M4=1&11&0
Em (a) precisamos encontrar uma base de L(S)=span(S) e sua dimensão. Em (b) devemos mostrar que
W=Min L(S):m12=0
é subespaço, dar uma base de W e as coordenadas do vetor
M=1&0-1&0
nessa base.

Passo 2

Para achar uma base de L(S) vemos que todo Xin L(S) tem a entrada (2,2) zero (pois todos os Mi têm (2,2)=0), logo dim L(S)<=3. Escrevendo vetorialmente em R^4 pelas entradas (1,1),(1,2),(2,1),(2,2), obtemos:
M1=(1,0,0,0),; M2=(1,-1,1,0),; M3=(1,1,-1,0),; M4=(1,1,1,0)
Nota-se que M3 =2M1 - M2, de modo que M3 é combinação de M1,M2. Já M4 não está no span de M1,M2, pois resolver
a(1,0,0,0)+b(1,-1,1,0)=(1,1,1,0)
dá contradição. Portanto M1,M2,M4 é conjunto de três vetores independentes em L(S), gerando-o. Assim
base de L(S)=M1,M2,M4, dim L(S)=3

Passo 3

Para (b) note que W=Xin L(S):x12=0 é o núcleo da forma linear f(X)= entrada (1,2) de X. Como núcleo de aplicação linear, W é subespaço de L(S).

Passo 4

Já que M1,M2,M4 é base de L(S), qualquer
X = alpha M1 + beta M2 + gamma M4
tem entrada (1,2) igual a
0cdotalpha +(-1)beta +1gamma = -beta+gamma
Para Xin W precisamos -beta+gamma=0, ou gamma=beta. Logo
X = alpha M1 + beta,(M2+M4),
e M1,;M2+M4 é base de W.

Passo 5

Escrevemos
M=1&0-1&0
como
M = alpha M1 + beta (M2+M4) = alpha1&00&0 +beta2&02&0 = alpha+2beta&02beta&0
Comparando com 1&0-1&0 vem
alpha+2beta=1, 2beta=-1 ;Longrightarrow; beta=-tfrac12,;alpha=2

Resposta

a) Base de L(S): M1,M2,M4. Dimensão: 3.\n b) W é subespaço de L(S). Base de W: ,M1,;M2+M4. \n Coordenadas de M nessa base: (alpha,beta)=(2,,-tfrac12).

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