P 6.4. Considere, no espaço linear real das matrizes , o conjunto , onde
a) Construa uma base de L(S), espaço gerado por S, e indique a respectiva dimensão.
b) Mostre que o conjunto W=M in L(S): m12=0 forma um subespaço de L(S) e determine uma base para W. Determine as coordenadas do vector M=[cc1 & 0 -1 & 0] nessa base.
Passo 1
O enunciado está em M2times2(R) e define o conjunto
S=M1,M2,M3,M4,
com
M1=1&00&0,; M2=1&-11&0,; M3=1&1-1&0,; M4=1&11&0
Em (a) precisamos encontrar uma base de L(S)=span(S) e sua dimensão. Em (b) devemos mostrar que
W=Min L(S):m12=0
é subespaço, dar uma base de W e as coordenadas do vetor
M=1&0-1&0
nessa base.
Passo 2
Para achar uma base de L(S) vemos que todo Xin L(S) tem a entrada (2,2) zero (pois todos os Mi têm (2,2)=0), logo dim L(S)<=3. Escrevendo vetorialmente em R^4 pelas entradas (1,1),(1,2),(2,1),(2,2), obtemos: