P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos F de funções reais, seja G o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de F ). Diga qual a dimensão de L(G) e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
F=t^2,(t in R)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
F=,t^2
e define
G como o conjunto de todas as derivadas de todas as ordens de t^2.
Queremos a dimensão de L(G), o espaço gerado por G.

Passo 2

Vamos listar as derivadas de f(t)=t^2:
f^(0)(t)=t^2, f^(1)(t)=2t, f^(2)(t)=2, f^(n)(t)=0 para n>=3
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G=,t^2,;2t,;2,;0

Passo 3

O espaço L(G) é gerado pelos elementos não nulos de G, ou seja
L(G)=span,t^2,;2t,;2
Como ,t^2,t,1 é a base canônica dos polinômios de grau <=2, e 2t e 2 são apenas escalas de t e 1, concluímos que há três polinômios de graus distintos ( 2, 1 e 0), portanto linearmente independentes.

Resposta

A dimensão de L(G) é 3.
Uma base conveniente é ,t^2,;t,;1, pois gera todos os elementos de G por combinação linear.

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