P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos
de funções reais, seja
o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de
). Diga qual a dimensão de
e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e define
como o conjunto de todas as derivadas de todas as ordens de
.
Queremos a dimensão de , o espaço gerado por
.
e define
Queremos a dimensão de
Passo 2
Vamos listar as derivadas de
:
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Passo 3
O espaço
é gerado pelos elementos não nulos de
, ou seja
Como
é a base canônica dos polinômios de grau
, e
e
são apenas escalas de
e
, concluímos que há três polinômios de graus distintos (
,
e
), portanto linearmente independentes.
Resposta
A dimensão de
é
.
Uma base conveniente é , pois gera todos os elementos de
por combinação linear.
Uma base conveniente é