P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos de funções reais, seja o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de ). Diga qual a dimensão de e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define
ou seja, todas as derivadas de todas as ordens (incluindo a 0) de e de . Precisamos achar a dimensão do espaço linear gerado por , isto é, , e, se for finita, exibir uma base.
Passo 2
Calculamos as derivadas de . Para todo ,
Logo, todas as derivadas de dão sempre , ou seja, este gerador contribui apenas com a função .
Passo 3
Agora as derivadas de . Temos
e o ciclo se repete com período 4. Assim, as únicas funções novas que surgem são cos t e sin t (até sinais, que não geram um espaço maior).
Passo 4
Portanto
G=,e^t,;cos t,;-sin t,;-cos t,;sin t,dots =,e^t,;cos t,;sin t
Então
L(G)=span,e^t,;cos t,;sin t
Passo 5
Para ver que e^t,cos t,sin t é linearmente independente, note que não há combinação não trivial
a,e^t + b,cos t + c,sin t=0forall t
a menos que a=b=c=0 (por exemplo, avaliando em pontos diferentes ou usando Wronskiano). Logo essa é uma base de L(G).
Resposta
A dimensão de L(G) é 3, e uma base é ,e^t,;cos t,;sin t.