P 6.3. Para cada um dos seguintes conjuntos F de funções reais, seja G o conjunto formado pelas derivadas de todas as ordens dessas funções (incluindo ordem 0, ou seja as próprias funções de F ). Diga qual a dimensão de L(G) e, no caso de essa dimensão ser finita, indique, justificando, uma base do espaço.
F=e^t, cos (t),(t in R)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
F=,e^t,;cos t
e define
G=,f^(n):n=0,1,2,dots,;fin F,
ou seja, todas as derivadas de todas as ordens (incluindo a 0) de e^t e de cos t. Precisamos achar a dimensão do espaço linear gerado por G, isto é, dim L(G), e, se for finita, exibir uma base.

Passo 2

Calculamos as derivadas de e^t. Para todo n>=0,
d^ndt^ne^t=e^t
Logo, todas as derivadas de e^t dão sempre e^t, ou seja, este gerador contribui apenas com a função ,e^t.

Passo 3

Agora as derivadas de cos t. Temos
cos t &xrightarrowd/dt-sin t xrightarrowd/dt-cos t xrightarrowd/dtsin t xrightarrowd/dtcos t,
e o ciclo se repete com período 4. Assim, as únicas funções novas que surgem são cos t e sin t (até sinais, que não geram um espaço maior).

Passo 4

Portanto
G=,e^t,;cos t,;-sin t,;-cos t,;sin t,dots =,e^t,;cos t,;sin t
Então
L(G)=span,e^t,;cos t,;sin t

Passo 5

Para ver que e^t,cos t,sin t é linearmente independente, note que não há combinação não trivial
a,e^t + b,cos t + c,sin t=0forall t
a menos que a=b=c=0 (por exemplo, avaliando em pontos diferentes ou usando Wronskiano). Logo essa é uma base de L(G).

Resposta

A dimensão de L(G) é 3, e uma base é ,e^t,;cos t,;sin t.

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