Para cada uma das seguintes equaçães diferenciais ache a soluchão particular que satisfaz a condição dada:
quando
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Pedido: encontrar a solução particular
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Interpretação do que fazer (sem usar jargão complicado): a equação diz que a derivada de
em relação a
é uma função conhecida de
. Para recuperar
a partir de
basta integrar essa função de
. Ou seja, aplicamos uma primitiva:
onde
é a constante de integração que aparece sempre que fazemos uma primitiva. Agora precisamos calcular a integral
.
Passo 3
Técnica usada para calcular
: integração por partes. Vou explicar essa técnica passo a passo.
Fórmula de integração por partes: para funções
e
diferenciáveis vale
Aqui escolhemos as partes de forma a simplificar a integral. Uma escolha natural é:
-
(porque derivando fica simples: ), -
(porque integrar dá ).
Calculemos:
-
, -
.
Aplicando a fórmula:
Agora calcule a última integral:
Portanto
Passo 4
Voltando à expressão geral da solução:
Agora aplicamos a condição inicial para determinar
. A condição diz que
. Substituindo
:
Como
, obtemos
.
Logo a solução particular é
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): derivar a solução encontrada e checar se dá
.
Derivando
:
- usar a regra do produto para
: derivative é . - derivada de
é .
Portanto
, que coincide com a equação dada. Tudo confere.