Para cada uma das seguintes equaçães diferenciais ache a soluchão particular que satisfaz a condição dada:
y^{\prime}=x e^{x}, y=3 quando x=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial: y' = x e^{x}.
  • Condição inicial: y(1)=3.
  • Pedido: encontrar a solução particular y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Interpretação do que fazer (sem usar jargão complicado): a equação diz que a derivada de y em relação a x é uma função conhecida de x. Para recuperar y a partir de y' basta integrar essa função de x. Ou seja, aplicamos uma primitiva:
y(x)=\int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração que aparece sempre que fazemos uma primitiva. Agora precisamos calcular a integral \int x e^{x}\,dx.

Passo 3

Técnica usada para calcular \int x e^{x}\,dx: integração por partes. Vou explicar essa técnica passo a passo.
Fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x) diferenciáveis vale
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui escolhemos as partes de forma a simplificar a integral. Uma escolha natural é:
  • u = x (porque derivando fica simples: du = dx),
  • dv = e^{x}\,dx (porque integrar e^{x} e^{x}).
Calculemos:
  • du = dx,
  • v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
Agora calcule a última integral:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.

Passo 4

Voltando à expressão geral da solução:
y(x)=e^{x}(x-1) + C.
Agora aplicamos a condição inicial para determinar C. A condição diz que y(1)=3. Substituindo x=1:
y(1)=e^{1}(1-1)+C = e\cdot 0 + C = C.
Como y(1)=3, obtemos C=3.
Logo a solução particular é
y(x)=e^{x}(x-1) + 3.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): derivar a solução encontrada e checar se dá x e^{x}.
Derivando y(x)=e^{x}(x-1)+3:
  • usar a regra do produto para e^{x}(x-1): derivative é e^{x}(x-1) + e^{x}\cdot 1 = e^{x}x.
  • derivada de 3 é 0.
Portanto y'(x)=e^{x}x = x e^{x}, que coincide com a equação dada. Tudo confere.

Resposta

y(x)=e^{x}(x-1)+3

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