Mostre que as funcóres abaixo, dependentes de constantes arbitrárias
, satisfazem as correspondentes equações diferenciais ordinárias. Classifique estas equaçáes de acordo à sua linearidade:
.
Passo 1
O enunciado dá a função dependente de constantes arbitrárias
:
e a equação diferencial:
O que se pede:
- Mostrar, passo a passo, que a função
satisfaz essa equação (isto é, ao calcular e e substituir, a expressão resulta em ). - Classificar a equação em relação à sua linearidade (ordem, homogeneidade, dependência dos coeficientes).
Passo 2
Preciso das regras de derivação que vou usar (explicação didática curta):
- Regra da cadeia: se
, então . Ex.: se e , então . - Derivada de
(ou ): seja . Pela definição, . Diferenciando ambos os lados:
Como
, obtém-se
- Derivada de
: usar regra do poder e cadeia:
Passo 3
Calcular a primeira derivada
aplicando a regra da cadeia a cada termo exponencial.
Defina
. Então, usando
, temos
Usando
,
Passo 4
Calcular a segunda derivada
. Para organizar, chamo
de modo que
.
Usando a regra do produto:
Já calculamos
. Agora
pela regra da cadeia:
Substituindo
(pois
),
Agora substitui na expressão de
:
Como
, reescrevendo:
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial e simplificar passo a passo.
A equação é
Multiplicando
por
usando a expressão do Passo 4:
Simplificando fator a fator:
Agora subtrai
. Pela expressão do Passo 3,
Logo, ao fazer
os termos com fator
se cancelam, sobrando
Finalmente subtrai
, que é
. Assim
Passo 6
Conclui-se que a função dada satisfaz identicamente a equação diferencial para
(região onde
e as expressões com
estão bem definidas). Portanto a verificação está completa.
Passo 7
Classificação da equação quanto à linearidade (explicação didática):
- Ordem: é de segunda ordem porque aparece
. - Linearidade: a equação é linear em
, e porque cada termo envolve uma dessas derivadas multiplicada por uma função de (ou por constante) e não há produtos não lineares entre e suas derivadas nem funções não lineares de . Em forma geral uma EDO linear de 2ª ordem tem aparência
Aqui
,
,
e
.
- Homogeneidade: é homogênea porque o termo independente é zero (
). - Coeficientes: os coeficientes
dependem de (não são constantes), logo é uma equação linear de coeficientes variáveis (não é de coeficientes constantes). - Consequência prática: por ser linear e homogênea, qualquer combinação linear de soluções também é solução (princípio da superposição) — motivo pelo qual a presença dos dois parâmetros livres
é natural para uma solução geral de uma EDO linear de 2ª ordem.
Resposta
A equação é linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes dependentes de