Mostre que as funcóres abaixo, dependentes de constantes arbitrárias C, C_{1}, C_{2}, satisfazem as correspondentes equações diferenciais ordinárias. Classifique estas equaçáes de acordo à sua linearidade:
\mu=c_{1} e^{\operatorname{Arcsen} t}+c_{2} e^{-\operatorname{Arcsent}} ;\left(1-t^{2}\right) \frac{d^{2} \mu}{d t^{2}}-t \frac{d \mu}{d t}-\mu=0.

Passo 1

O enunciado dá a função dependente de constantes arbitrárias c_{1},c_{2}:
\mu = c_{1} e^{\operatorname{Arcsen} t} + c_{2} e^{-\operatorname{Arcsen} t}
e a equação diferencial:
(1-t^{2})\frac{d^{2}\mu}{dt^{2}} - t\frac{d\mu}{dt} - \mu = 0.
O que se pede:
  • Mostrar, passo a passo, que a função \mu satisfaz essa equação (isto é, ao calcular \mu' e \mu'' e substituir, a expressão resulta em 0).
  • Classificar a equação em relação à sua linearidade (ordem, homogeneidade, dependência dos coeficientes).

Passo 2

Preciso das regras de derivação que vou usar (explicação didática curta):
  • Regra da cadeia: se y(t)=f(g(t)), então y'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t). Ex.: se f(u)=e^{u} e u=g(t), então \dfrac{d}{dt}e^{g(t)}=e^{g(t)}g'(t).
  • Derivada de \operatorname{Arcsen} t (ou \arcsin t): seja a(t)=\operatorname{Arcsen} t. Pela definição, \sin(a(t))=t. Diferenciando ambos os lados:
\cos(a(t))\,a'(t)=1 \quad\Rightarrow\quad a'(t)=\frac{1}{\cos(a(t))}.
Como \cos(a(t))=\sqrt{1-\sin^{2}(a(t))}=\sqrt{1-t^{2}}, obtém-se
\frac{d}{dt}\operatorname{Arcsen} t = \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},\qquad\text{(válido para }|t|<1\text{).}á
  • Derivada de (1-t^{2})^{-1/2}: usar regra do poder e cadeia:
\frac{d}{dt}(1-t^{2})^{-1/2} = -\tfrac{1}{2}(1-t^{2})^{-3/2}\cdot(-2t) = \frac{t}{(1-t^{2})^{3/2}}.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \dfrac{d\mu}{dt} aplicando a regra da cadeia a cada termo exponencial.
Defina a(t)=\operatorname{Arcsen} t. Então, usando \dfrac{d}{dt}e^{\pm a(t)}= \pm e^{\pm a(t)} a'(t), temos
\frac{d\mu}{dt} = c_{1} e^{a(t)}\cdot a'(t) + c_{2} e^{-a(t)}\cdot\bigl(-a'(t)\bigr).
Usando a'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},
\frac{d\mu}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\bigl(c_{1} e^{a(t)} - c_{2} e^{-a(t)}\bigr).

Passo 4

Calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}\mu}{dt^{2}}. Para organizar, chamo
S(t)=c_{1} e^{a(t)} - c_{2} e^{-a(t)}, \qquad w(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}=(1-t^{2})^{-1/2},
de modo que \mu'(t)=w(t)S(t).
Usando a regra do produto:
\mu''(t)=w'(t)S(t)+w(t)S'(t).
Já calculamos w'(t)=\dfrac{t}{(1-t^{2})^{3/2}}. Agora S'(t) pela regra da cadeia:
S'(t)=c_{1} e^{a(t)}a'(t) - c_{2}\bigl(-e^{-a(t)}a'(t)\bigr) = a'(t)\bigl(c_{1} e^{a(t)} + c_{2} e^{-a(t)}\bigr).
Substituindo a'(t)=w(t) (pois a'(t)=1/\sqrt{1-t^{2}}=w(t)),
S'(t)=w(t)\bigl(c_{1} e^{a(t)} + c_{2} e^{-a(t)}\bigr).
Agora substitui na expressão de \mu'':
\mu''(t)=\frac{t}{(1-t^{2})^{3/2}}\,S(t) + w(t)\cdot w(t)\bigl(c_{1} e^{a(t)} + c_{2} e^{-a(t)}\bigr).
Como w(t)^{2}=(1-t^{2})^{-1}, reescrevendo:
\mu''(t)=\frac{t\bigl(c_{1} e^{a(t)} - c_{2} e^{-a(t)}\bigr)}{(1-t^{2})^{3/2}} + \frac{c_{1} e^{a(t)} + c_{2} e^{-a(t)}}{1-t^{2}}.

Passo 5

Substituir \mu, \mu' e \mu'' na equação diferencial e simplificar passo a passo.
A equação é
(1-t^{2})\mu'' - t\mu' - \mu.
Multiplicando \mu'' por (1-t^{2}) usando a expressão do Passo 4:
(1-t^{2})\mu'' = (1-t^{2})\left[\frac{t\bigl(c_{1} e^{a} - c_{2} e^{-a}\bigr)}{(1-t^{2})^{3/2}} + \frac{c_{1} e^{a} + c_{2} e^{-a}}{1-t^{2}}\right].
Simplificando fator a fator:
(1-t^{2})\mu'' = \frac{t\bigl(c_{1} e^{a} - c_{2} e^{-a}\bigr)}{(1-t^{2})^{1/2}} + \bigl(c_{1} e^{a} + c_{2} e^{-a}\bigr).
Agora subtrai t\mu'. Pela expressão do Passo 3,
t\mu' = t\cdot\frac{c_{1} e^{a} - c_{2} e^{-a}}{\sqrt{1-t^{2}}} = \frac{t\bigl(c_{1} e^{a} - c_{2} e^{-a}\bigr)}{(1-t^{2})^{1/2}}.
Logo, ao fazer (1-t^{2})\mu'' - t\mu' os termos com fator \dfrac{t(c_{1} e^{a}-c_{2} e^{-a})}{(1-t^{2})^{1/2}} se cancelam, sobrando
(1-t^{2})\mu'' - t\mu' = c_{1} e^{a} + c_{2} e^{-a}.
Finalmente subtrai \mu, que é \mu = c_{1} e^{a} + c_{2} e^{-a}. Assim
(1-t^{2})\mu'' - t\mu' - \mu = \bigl(c_{1} e^{a} + c_{2} e^{-a}\bigr) - \bigl(c_{1} e^{a} + c_{2} e^{-a}\bigr) = 0.

Passo 6

Conclui-se que a função dada satisfaz identicamente a equação diferencial para |t|<1 (região onde \operatorname{Arcsen} t e as expressões com \sqrt{1-t^{2}} estão bem definidas). Portanto a verificação está completa.

Passo 7

Classificação da equação quanto à linearidade (explicação didática):
  • Ordem: é de segunda ordem porque aparece \dfrac{d^{2}\mu}{dt^{2}}.
  • Linearidade: a equação é linear em \mu, \mu' e \mu'' porque cada termo envolve uma dessas derivadas multiplicada por uma função de t (ou por constante) e não há produtos não lineares entre \mu e suas derivadas nem funções não lineares de \mu. Em forma geral uma EDO linear de 2ª ordem tem aparência
a_{2}(t)\mu'' + a_{1}(t)\mu' + a_{0}(t)\mu = g(t).
Aqui a_{2}(t)=1-t^{2}, a_{1}(t)=-t, a_{0}(t)=-1 e g(t)=0.
  • Homogeneidade: é homogênea porque o termo independente é zero ( g(t)=0).
  • Coeficientes: os coeficientes a_{2},a_{1},a_{0} dependem de t (não são constantes), logo é uma equação linear de coeficientes variáveis (não é de coeficientes constantes).
  • Consequência prática: por ser linear e homogênea, qualquer combinação linear de soluções também é solução (princípio da superposição) — motivo pelo qual a presença dos dois parâmetros livres c_{1},c_{2} é natural para uma solução geral de uma EDO linear de 2ª ordem.

Resposta

\mu=c_{1} e^{\operatorname{Arcsen} t}+c_{2} e^{-\operatorname{Arcsen} t} satisfaz (1-t^{2})\dfrac{d^{2}\mu}{dt^{2}}-t\dfrac{d\mu}{dt}-\mu=0.
A equação é linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes dependentes de t (coeficientes variáveis).

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