Mostre que as funcóres abaixo, dependentes de constantes arbitrárias C, C_{1}, C_{2}, satisfazem as correspondentes equações diferenciais ordinárias. Classifique estas equaçáes de acordo à sua linearidade:
z^{2}=2 c v+c^{2} ; z\left(\frac{d z}{d v}\right)^{2}+2 v \frac{d z}{d v}-z=0.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas definida implicitamente por z^{2}=2 c v+c^{2}, onde c é uma constante arbitrária, e pede para:
  • Mostrar que qualquer função z(v) definida por essa relação satisfaz a equação diferencial z\left(\frac{d z}{d v}\right)^{2}+2 v \frac{d z}{d v}-z=0.
  • Classificar essa equação diferencial quanto à sua linearidade (e também indicar a ordem).
Informações relevantes dadas:
  • Relação entre z, v e a constante c: \;z^{2}=2 c v+c^{2}.
  • Equação a ser verificada: \;z\bigl(dz/dv\bigr)^{2}+2v\,(dz/dv)-z=0.

Passo 2

Explicação rápida do método que vamos usar (sem assumir que já sabe): como a relação entre z e v é dada implicitamente, usamos diferenciação implícita para obter dz/dv. Relembre que diferenciação implícita significa: diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a v, tratando z como função de v. Ao derivar uma expressão como z^{2} com respeito a v, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de z^{2} é 2z\cdot (dz/dv).

Passo 3

Derivamos a identidade \;z^{2}=2 c v+c^{2} em relação a v. Aplicando diferenciação implícita:
  • Derivada do lado esquerdo: \dfrac{d}{dv}(z^{2})=2z\cdot\dfrac{dz}{dv}.
  • Derivada do lado direito: \dfrac{d}{dv}(2cv+c^{2})=2c (pois c é constante).
Assim obtemos
2z\frac{dz}{dv}=2c.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dz}{dv}. Dividindo por 2z (vamos cuidar depois do caso z=0):
\frac{dz}{dv}=\frac{c}{z}.
Esta é uma expressão simples para a derivada em termos de z e da constante c.

Passo 5

Calculamos o quadrado da derivada, que aparece na equação a verificar:
\left(\frac{dz}{dv}\right)^{2}=\frac{c^{2}}{z^{2}}.

Passo 6

Substituímos \dfrac{dz}{dv}=\dfrac{c}{z} e \left(\dfrac{dz}{dv}\right)^{2}=\dfrac{c^{2}}{z^{2}} na equação objetivo:
z\left(\frac{dz}{dv}\right)^{2}+2v\frac{dz}{dv}-z = z\cdot\frac{c^{2}}{z^{2}}+2v\cdot\frac{c}{z}-z.
Agora simplificamos termo a termo:
z\cdot\frac{c^{2}}{z^{2}}=\frac{c^{2}}{z},\qquad 2v\cdot\frac{c}{z}=\frac{2cv}{z}.
Somando e agrupando:
\frac{c^{2}}{z}+\frac{2cv}{z}-z = \frac{c^{2}+2cv}{z}-z.

Passo 7

Usamos a relação original z^{2}=2 c v+c^{2} (essa é a informação dada) para substituir c^{2}+2cv por z^{2}. Assim:
\frac{c^{2}+2cv}{z}-z=\frac{z^{2}}{z}-z = z - z = 0.
Portanto a expressão da equação diferencial é zero identicamente: a família dada satisfaz a equação.

Passo 8

Comentário sobre divisões usadas: ao obter \dfrac{dz}{dv}=\dfrac{c}{z} dividimos por z. Se em algum ponto z=0 é preciso examinar separadamente:
  • Se c=0, a relação z^{2}=2cv+c^{2} z^{2}=0\Rightarrow z\equiv0, então \dfrac{dz}{dv}=0 e a equação fica 0+2v\cdot0-0=0, satisfeita.
  • Se c\neq0 e z=0 ocorre apenas em pontos isolados (quando v=-c/2); nesses pontos a fórmula \dfrac{dz}{dv}=c/z não vale porque dividimos por zero, mas a verificação direta da equação original usando a identidade z^{2}=2cv+c^{2} ainda mostra que o membro esquerdo se anula (podemos verificar por continuidade ou checando limites). Assim, não há contradição: a família satisfaz a equação em todos os pontos onde está bem definida.

Passo 9

Classificação da equação quanto à linearidade e ordem:
  • Ordem: a equação envolve apenas dz/dv (primeira derivada), portanto é de ordem 1.
  • Linearidade: uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma a_{1}(v)\dfrac{dz}{dv}+a_{0}(v)z=b(v), ou seja é linear em z e em \dfrac{dz}{dv} (nenhum termo como (dz/dv)^{2} ou produto z\cdot(dz/dv) aparece). Aqui a equação contém \bigl(dz/dv\bigr)^{2} e também o produto z\cdot\bigl(dz/dv\bigr)^{2}, portanto é não linear. Conclusão: é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e não linear.

Resposta

A família \;z^{2}=2cv+c^{2}\; satisfaz a equação diferencial \;z\left(\dfrac{dz}{dv}\right)^{2}+2v\dfrac{dz}{dv}-z=0.
A equação é de primeira ordem e não linear.

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