Mostre que as funcóres abaixo, dependentes de constantes arbitrárias
, satisfazem as correspondentes equações diferenciais ordinárias. Classifique estas equaçáes de acordo à sua linearidade:
.
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas definida implicitamente por
, onde
é uma constante arbitrária, e pede para:
- Mostrar que qualquer função
definida por essa relação satisfaz a equação diferencial - Classificar essa equação diferencial quanto à sua linearidade (e também indicar a ordem).
Informações relevantes dadas:
- Relação entre
, e a constante : - Equação a ser verificada:
Passo 2
Explicação rápida do método que vamos usar (sem assumir que já sabe): como a relação entre
e
é dada implicitamente, usamos diferenciação implícita para obter
. Relembre que diferenciação implícita significa: diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
, tratando
como função de
. Ao derivar uma expressão como
com respeito a
, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
.
Passo 3
Derivamos a identidade
em relação a
. Aplicando diferenciação implícita:
- Derivada do lado esquerdo:
- Derivada do lado direito:
(pois é constante).
Assim obtemos
Passo 4
Isolamos
. Dividindo por
(vamos cuidar depois do caso
):
Esta é uma expressão simples para a derivada em termos de
e da constante
.
Passo 5
Calculamos o quadrado da derivada, que aparece na equação a verificar:
Passo 6
Substituímos
e
na equação objetivo:
Agora simplificamos termo a termo:
Somando e agrupando:
Passo 7
Usamos a relação original
(essa é a informação dada) para substituir
por
. Assim:
Portanto a expressão da equação diferencial é zero identicamente: a família dada satisfaz a equação.
Passo 8
Comentário sobre divisões usadas: ao obter
dividimos por
. Se em algum ponto
é preciso examinar separadamente:
- Se
, a relação dá , então e a equação fica , satisfeita. - Se
e ocorre apenas em pontos isolados (quando ); nesses pontos a fórmula não vale porque dividimos por zero, mas a verificação direta da equação original usando a identidade ainda mostra que o membro esquerdo se anula (podemos verificar por continuidade ou checando limites). Assim, não há contradição: a família satisfaz a equação em todos os pontos onde está bem definida.
Passo 9
Classificação da equação quanto à linearidade e ordem:
- Ordem: a equação envolve apenas
(primeira derivada), portanto é de ordem 1. - Linearidade: uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma
, ou seja é linear em e em (nenhum termo como ou produto aparece). Aqui a equação contém e também o produto , portanto é não linear. Conclusão: é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e não linear.
Resposta
A família
satisfaz a equação diferencial
A equação é de primeira ordem e não linear.
A equação é de primeira ordem e não linear.