Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a EDO autônoma
e pede (i) as soluções de equilíbrio, (ii) sua classificação (estável ou instável), (iii) um esboço das soluções no eixo
(linha de fases) e (iv) a descrição do comportamento de
conforme a condição inicial
.
Passo 2
Para achar as soluções de equilíbrio basta resolver
Como
em
essas são todas as soluções constantes
.
Passo 3
Para classificar cada equilíbrio usamos o teste da linearização:
Em
temos
logo
Se
é par então
e o equilíbrio é estável.
Se é ímpar então
e o equilíbrio é instável.
Se
Passo 4
Analisando o sinal de
em cada intervalo de comprimento
, temos o seguinte diagrama (linha de fases):
Aqui as setas indicam a direção de evolução de
:
– Entre um instável e o estável seguinte , então
e
cresce.
– Entre um estável e o instável seguinte , então
e
decresce.
– Entre um instável e o estável seguinte
– Entre um estável e o instável seguinte
Passo 5
Das setas segue-se que, para cada
:
- Se
então
,
e
decresce monotonamente, aproximando-se de
quando
.
2. Se
2. Se
então
,
e
cresce monotonamente, aproximando-se de
quando
.
Em ambos os casos, tende de forma assintótica ao equilíbrio estável mais próximo.
Se começa exatamente num ponto instável
com
ímpar, a solução permanece constante ali (mas qualquer perturbação faz escapar para o equilíbrio estável vizinho).
Em ambos os casos,
Se
Resposta
As soluções de equilíbrio são
Classificação: para
par são estáveis (
), para
ímpar são instáveis (
).
O comportamento geral é que se move monotonamente (pois
não muda de sinal no intervalo entre equilibria) em direção ao equilíbrio estável mais próximo, ficando preso ali para
.
O comportamento geral é que