Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial y(0).
y^prime=cos (y)

Passo 1

O enunciado dá a EDO autônoma
y' = cos(y)
e pede (i) as soluções de equilíbrio, (ii) sua classificação (estável ou instável), (iii) um esboço das soluções no eixo y (linha de fases) e (iv) a descrição do comportamento de y(t) conforme a condição inicial y(0).

Passo 2

Para achar as soluções de equilíbrio basta resolver
cos(y)=0
Como cos(y)=0 em
y^* = pi2 + kpi, kinZ,
essas são todas as soluções constantes y(t)equiv y^*.

Passo 3

Para classificar cada equilíbrio usamos o teste da linearização:
f(y)=cos(y), f'(y)=-sin(y)
Em y^*=tfracpi2+kpi temos
sinl(tfracpi2+kpir)=(-1)^k,
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f'(y^*) = -(-1)^k
Se k é par então f'(y^*)=-1<0 e o equilíbrio é estável.
Se k é ímpar então f'(y^*)=+1>0 e o equilíbrio é instável.

Passo 4

Analisando o sinal de cos(y) em cada intervalo de comprimento pi, temos o seguinte diagrama (linha de fases):
cdots;long<=ftarrow;underset y=-tfracpi2;(instável)bul<=t ;longrightarrow;underset y=+tfracpi2;(estável)bul<=t ;long<=ftarrow;underset y=tfrac3pi2;(instável)bul<=t ;longrightarrow;underset y=tfrac5pi2;(estável)bul<=t ;long<=ftarrow;cdots áááá
Aqui as setas indicam a direção de evolução de y(t):
– Entre um instável e o estável seguinte cos(y)>0, então y'!>!0 e y cresce.
– Entre um estável e o instável seguinte cos(y)<0, então y'!<!0 e y decresce.

Passo 5

Das setas segue-se que, para cada kinZ:
  1. Se
y(0)inl(tfracpi2+2kpi,;tfrac3pi2+2kpir),
então cos(y)<0, y'!<0 e y(t) decresce monotonamente, aproximando-se de
tfracpi2+2kpi quando tto+infty.
2. Se
y(0)inl(tfrac3pi2+2kpi,;tfrac5pi2+2kpir),
então cos(y)>0, y'!>!0 e y(t) cresce monotonamente, aproximando-se de
tfrac5pi2+2kpi quando tto+infty.
Em ambos os casos, y(t) tende de forma assintótica ao equilíbrio estável mais próximo.
Se y(0) começa exatamente num ponto instável y^*=tfracpi2+kpi com k ímpar, a solução permanece constante ali (mas qualquer perturbação faz escapar para o equilíbrio estável vizinho).

Resposta

As soluções de equilíbrio são
y^* = pi2+kpi, kinZ
Classificação: para k par são estáveis ( f'(y^*)<0), para k ímpar são instáveis ( f'(y^*)>0).
O comportamento geral é que y(t) se move monotonamente (pois cos(y) não muda de sinal no intervalo entre equilibria) em direção ao equilíbrio estável mais próximo, ficando preso ali para tto+infty.

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